Cálculo teórico de la tau de Kendall

Question

Mientras trabajaba con los estadísticos de correlación de rangos de las muestras, concretamente la rho de Spearman y la tau de Kendall, me encontré con la interesante interpretación teórica de la tau de Kendall. Puede verse como un parámetro fundamental de una distribución bivariante que depende esencialmente de la probabilidad de que dos pares de observaciones extraídas al azar sean concordantes.

Ahora, mi pregunta es la siguiente. ¿Existe una forma de derivar esta probabilidad a partir de una distribución bivariante? ¿Cómo funciona? ¿Necesita supuestos especiales sobre la forma de la distribución o incluso no es posible en absoluto? ¿Y cómo es el valor teórico del coeficiente de correlación de Spearman?

Answer 1

La correlación Kendall poblacional es la probabilidad poblacional de concordancia menos la probabilidad poblacional de discordancia; $P[(X_1 X_2) (Y_1Y_2)>0] P[(X_1X_2) (Y_1Y_2)<0]$ donde $(X_1,Y_1)$ y $(X_2,Y_2)$ son pares independientes de la distribución bivariante. Esto se corresponde directamente con la definición de la muestra (la proporción muestral de pares concordantes menos la proporción muestral de pares discordantes).

Se utiliza con frecuencia en el estudio de las cópulas; para un par de variantes continuas, $U,V$ sale a $\tau_{U,V} = 4 E_{U,V}[C(U,V)]-1$ donde $C$ es la función de cópula bivariante. Por ejemplo, se utiliza en esta pregunta La tau de Kendall para la cópula de Clayton .

[El $U$ y $V$ se relacionan con el $X$ y $Y$ 's a través de $U=F_X(X)$ y $V=F_Y(Y)$ ]

La situación de la correlación de Spearman es similar, aunque la conexión con las probabilidades de concordancia es menos evidente (no obstante, existe dicha conexión).

En términos de la función de cópula de las variantes continuas, la correlación de Spearman puede escribirse como $\rho_{U,V}=12E(UV)-3$ .

Esto es quizás lo más fácil de motivar de la siguiente manera:

Dejemos que $U=F_X(X)$ y $V=F_Y(Y)$ Entonces $\:\,\rho = \text{Cor}(U,V) = \text{Cov}(U,V)/\sqrt{\text{Var}(U)\text{Var}(V)}=(\int_0^1\int_0^1uv\, \text{d}C(u,v)-\frac12^2)/(1/12)\\\quad=12\int_0^1\int_0^1uv\, \text{d}C(u,v)-3$

Los tratamientos elementales de las cópulas a veces exploran estas medidas de correlación de la población con cierto detalle, a menudo con ejercicios; se pueden encontrar varios en línea.

Si no recuerdo mal, algo de esto se discute en el libro de Nelsen sobre cópulas, pero no puedo comprobar mi copia ahora mismo. [Editar: ver la pregunta Versión poblacional de la tau de Kendall que responde en parte a la primera parte de tu pregunta e indica que esa parte al menos sí estaba en Nelsen. Es posible que también se trate en el libro de Harry Joe].

También hay información sobre estas medidas de correlación de la población en Kendall's Métodos de correlación de rangos libro.

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Nelsen, R. (1999),
Introducción a las cópulas .
Lecture Notes in Statistics. Springer-Verlag, Nueva York

Joe, H. (1997),
Modelos multivariantes y conceptos de dependencia .
Chapman & Hall, Londres.