El cálculo de $\mathrm{Ext}_R^i(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$ $R=\mathbb{Z}[x,y]/(xy)$

Question

Primero de todo, perdón por la imagen – fue algo que me han llevado bastante tiempo al Látex.

A continuación es mi funcionamiento en el problema señalado en el título: cálculo de $\mathrm{Ext}_R^i(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$$R=\mathbb{Z}[x,y]/(xy)$.

Por lo que puedo ver, todo el $\mathrm{Ext}$ términos debe ser cero, ya que el cohomology de $\mathrm{Hom}(F_\bullet,\mathbb{Z})$ es igual a cero, donde el $F_\bullet$ $R$libre de resolución de $\mathbb{Z}$.

Pero la siguiente pregunta en este examen le pide a mostrar que dos de obstrucción de las clases de generar $\mathrm{Ext}^1_R(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$, por lo que este grupo no puede ser cero. Donde está mi error?

Answer 1

Su resolución parece bien, pero cuando se aplica $\text{Hom}_R(-,{\mathbb Z})$, las diferencias se desvanecen: $\text{Hom}_R(R,{\mathbb Z})\cong {\mathbb Z}$ $R$- módulos, y $x,y$ act trivialmente en ${\mathbb Z}$ por la segunda definición.