¿Por qué no el conjunto inductivo _the_ conjunto de los números naturales?

Question

ZFC el axioma de infinitud de los estados:

$$\exists x (\varnothing \in x \wedge \forall y \in x (y\cup \left \{y \right \} \in x)) $$

No es este conjunto $ x $ muy $\mathbb{N}$? No ser $\mathbb{N}$ si x podría contener algunos set $z $ que es diferente de $\varnothing $, $ S (\varnothing)$, $ S (S (\varnothing)) $, etc. Pero en realidad no podemos probar que un conjunto $ z $ es un elemento de $ x $, o podemos? También sé que este conjunto inductivo $ x $ no es único, sino que, a la luz de mi pregunta, no tiene ningún sentido para mí. Me siento como que me estoy perdiendo una muy peculiar punto de vista técnico, y no sé lo que es. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Escribir $$\phi(x):\Leftrightarrow (\emptyset \in x\land \forall y\in x\,(y\cup\{y\}\in x)). $$ Entonces el Axioma de Infinitud de los estados $$\tag1 \exists I\,\phi(I).$$ A partir de un conjunto de $I$, se pueden derivar (el uso de los otros axiomas) la existencia de $$\tag2 \omega := \bigcap\{\,x\in\mathcal P(I):\phi(x)\,\}$$ y, a continuación, mostrar que esta $\omega$ es lo que quieres (y no depende de la elección de $I$). Sin embargo, tratando de paquete de la minimality construcción de $(2)$ en el axioma hace que se vea mucho más complicada que la de $(1)$ - e innecesariamente así que, como podemos demostrar justo lo que necesitamos.

Answer 2

Otro conjunto que satisface el axioma es $N''=\mathbb N \cup N'$ donde $N'$ es el conjunto que contiene a $x_0 = \mathbb N$ (un conjunto que no es en $\mathbb N$) y todos los conjuntos de $x_{n+1} := x_n \cup \{ x_n\}$. Si se define $n+1 := n \cup \{n\}$, $0 := \{\}$ y $\omega := \mathbb N$ $$ N" = \{0, 1, 2, \puntos, \omega \omega+1, \omega+2,\dots\}. $$

Answer 3

Axioma INF dice que algunos de $x$ existe con propiedad $\phi\left(x\right)$ como se define en la respuesta de Hagen von Eitzen.

Aplicar el axioma de la SEP, usted encontrará que $\omega:=\left\{ y\in x\mid\forall I\left[\phi\left(I\right)\Rightarrow y\in I\right]\right\} $ es un conjunto.

Aquí $\omega=\left\{ 0,1,2,\dots\right\} $