Pointwise de conformación vs conformemente diffeomorphic métricas en la dimensión 2

Question

Deje $g$ ser cualquier métrica de Riemann en la 2-esfera $S^2$ y deje $g_0$ ser la ronda métrica (de curvatura constante $K$, por ejemplo).

Es cierto que existe un suave función positiva $\lambda:S^2\to \mathbb{R}$ tal que $g_0=\lambda^2g$?

La versión del teorema de uniformización que estoy familiarizado con implica que existe un diffeomorphism $f:S^2\to S^2$ y una función suave $u:S^2\to \mathbb{R}$ de manera tal que el pullback métrica $f^{\ast}g$ es de conformación para la ronda de métrica, es decir, que los $g_0=u^2(f^{\ast}g)$.

Así que mi pregunta es equivalente a la siguiente pregunta: ¿puede el diffeomorphism $f$ ser llevado a ser la identidad?

La razón por la que creo esto podría ser cierto es que una de 2 dimensiones del colector tiene curvatura constante fib tiene curvatura escalar constante. Para $n\geq 3$, cualquier métrica en un circuito cerrado en $n$-colector es pointwise conformación de una métrica con curvatura escalar constante (por la solución del problema de Yamabe). ¿Esto también se sostenga por $n=2$ y/o específicamente $S^2$?

Answer 1

Es cierto que existe un suave función positiva $\lambda:S^2\to \mathbb{R}$ tal que $g_0=\lambda^2g$?

No. Conformemente equivalente métricas de determinar los mismos ángulos, pero no todas las métricas de $S^2$ (o cualquier colector de dimensión $> 2$, para el caso) determinar los mismos ángulos.

Para $n \geq 3$, cualquier métrica en un circuito cerrado en n-manifold es pointwise conformación de una métrica con curvatura escalar constante (por la solución del problema de Yamabe). ¿Esto también se sostenga por $n=2$ y/o específicamente $S^2$?

Se puede deducir que esta en el $S^2$ caso de lo que ya sabemos: Para una métrica $(S^2, g)$, la Uniformización Teorema garantiza que no es un diffeomorphism $\phi : S^2 \to S^2$ tal que $\phi^* g = \lambda^2 g_0$ para algunos liso función de $\lambda : S^2 \to \Bbb R^+$. Tirando hacia atrás por $(\phi^{-1})^*$ y reorganizar da ese $\lambda^{-2} g = (\phi^{-1})^* g_0,$, pero el l.h.s. es de conformación a $g$ e la r.h.s. tiene curvatura escalar constante.