Demostrar que un funcional en $L^2(0, \pi)$ es limitada

Question

Deje $\Phi$ funcional definido en $L^2(0, \pi)$ tal que $\Phi(\sin(nx))=a_n$ sobre la base $\{\sin(nx)\}_{n=1}^{\infty}$ $\{a_n\}$ secuencia de números complejos. ¿Cuáles son las condiciones en las $\{a_n\}$ que $\Phi$ es limitada?

Mi intento. Para cualquier $f\in L^2(0, \pi)$, puedo escribir $f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\sin(kx)$. A continuación,$\Phi(f)=\sum_{k=1}^\infty f_ka_k$. Por Cauchy-Schwarz desigualdad, tenemos que $$ |\Phi(f)|^2\leq\sum_{k=1}^n|f_k|^2\sum_{k=1}^n|a_k|^2. $$ Ahora, $$ \|f\|_{L^2(0, \pi)}^2=\sum_{k=1}^\infty\int_0^{\pi}f_k^2\sin^2(kx)\ dx=\frac{\pi}{2}\sum_{k=1}^\infty f_k^2 $$ y, a continuación,$\sum_{k=1}^\infty |f_k|^2=\frac{2}{\pi}\|f\|_{L^2(0, \pi)}$. De ello se sigue que, si $\sum_{k=1}^\infty|a_k|^2=s<\infty$, luego $$ |\Phi(f)|^2\leq\frac{2}{\pi}\|f\|^2_{L^2(0, \pi)}<\infty. $$ Es mi intento de corregir?

Gracias

Answer 1

La prueba muestra que el $\sum_{k=1}^\infty |a_k|^2 < \infty $ es suficiente condición para $\Phi$ a ser limitada.

Para mostrar que $\sum_{k=1}^\infty |a_k|^2 < \infty $ es también una necesaria condición para $\Phi$ a estar acotada, tal vez podemos considerar la acción de la $\Phi$ sobre las funciones $$ f_N(x) : = \sum_{k=1}^N a^\star_k \sin(kx) \in L^2(0, \pi), \ \ \ {\rm for \ } N \in \mathbb N,$$ donde $a^\star_k$ denota el complejo conjugado de $a_k$. [Puesto que las sumas en las definiciones de estos $f_N$ son finitos sumas, estos $f_N$'s están garantizados para estar en $L^2(0, \pi)$.]

Por un simple cálculo, se puede demostrar que $$ |\Phi(f_N)| = \left(\frac 2 \pi\sum_{k=1}^N |a_k|^2 \right)^{\frac 1 2 } \| f_N \|_{L^2(0, \pi)}, \ \ \ {\rm for \ } N \in \mathbb N,$$ y desde aquí, es fácil ver que $$\sum_{k=1}^\infty |a_k|^2 < \infty$$ is a necessary condition for $\Phi$ a ser limitada.

[De hecho, la combinación de su argumento con la mía, incluso podemos concluir que $\left(\frac 2 \pi \sum_{k=1}^\infty |a_k|^2 \right) ^{\frac 1 2 } $ es la norma de la $\Phi$.]

Un comentario final: todo Este argumento se basa en el hecho de que $L^2(0, \pi)$ es isomorfo a $l^2$, a través de la asignación de $\sqrt{\tfrac 2 \pi} \sum_{k=1}^\infty f_k \sin(kx) \mapsto \{ f_k \} $. Así que, esencialmente, todo lo que hemos hecho es que hemos reproducido el estándar de la prueba del hecho de que el doble de $l^2$$l^2$.