¿Cómo se extienden las sumas parciales de la serie de Taylor de $e^x$ a una función suave en $\mathbb{R}^2?

Question

¿Existe una función suave $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $f(x,n)$, donde $n\in\mathbb{N}$, sea la serie de Taylor truncada de $e^x$, es decir, $1+ x + \frac{x^2}{2} + \dotsb + \frac{x^n}{n!}$, de manera similar a la función gamma?

Answer 1

Por supuesto; tenemos la relación

$$\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}=\frac{\Gamma(n+1,x)}{\Gamma(n+1)}\exp\,x=Q(n+1,x)\exp\,x$$

donde $\Gamma(n)$ es la función gamma usual y $\Gamma(n,a)$ es la función gamma incompleta (superior), y $Q(n,a)$ es la función gamma incompleta regularizada (superior); consulte ese enlace así como este enlace para más información sobre sus propiedades. La expresión a la derecha definitivamente tiene sentido no solo para valores enteros de $n$...

Answer 2

Esto se presenta como un elogio a la respuesta de J.M., pero la interpolación proporcionada tiene una conexión con las derivadas fraccionarias. Específicamente, $$ (1-D_x^{-(\nu+1)})e^x = e^x Q(\nu+1,x), $$ donde $D_x^\alpha$ se interpreta como la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville con respecto a la variable $x$. Esto se ve fácilmente al expandir primero $e^x$ como una serie de potencias para escribir $$ (1-D_x^{-(\nu+1)})e^x% =e^x-\sum_{k=0}^\infty D_x^{-(\nu+1)}\frac{x^k}{k!}% =e^x-\sum_{k=0}^\infty \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\nu+k+2)}\frac{x^{k+\nu+1}}{k!}. $$ Luego, con un poco de manipulación algebraica, obtenemos $$ (1-D_x^{-(\nu+1)})e^x% =e^x-\frac{z^{\nu+1}}{\Gamma(\nu+2)}\sum_{k=0}^\infty \frac{(1)_k}{(\nu+2)_k}\frac{x^k}{k!}% =e^x-\frac{z^{\nu+1}}{\Gamma(\nu+2)}{_1F_1}(1,\nu+2,x)=e^x-e^x P(\nu+1,x)=e^xQ(\nu+1,x), $$ donde $(a)_k=\Gamma(a+k)/\Gamma(a)$ es el símbolo de Pochhammer y $P(z,s)$ es la función gamma incompleta regularizada (inferior).

EDICIÓN: Así que hice un poco más de investigación y encontré el artículo Expansión de derivadas fraccionarias en términos de una serie de derivadas enteras

La ecuación $(15)$ para $a=0$ da la siguiente expansión de derivadas enteras de la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville $$ D_x^\alpha=\sum_{k=0}^\infty\binom{\alpha}{k}\frac{x^{k-\alpha}}{\Gamma(k-\alpha+1)}D_x^k. $$ Si tratamos esta expansión como una serie de potencias tradicional, encontramos $$ D_x^\alpha=x^{-\alpha}{_1\mathbf F_1}(-\alpha,1-\alpha,-xD_x), $$ donde ${_1\mathbf F_1}(a;b;z)=\frac{1}{\Gamma(b)}{_1F_1}(a;b;z)$ es la función hipergeométrica confluente regularizada de la primera clase. Dado que $D_x^k \,e^x=e^x\ \forall\, k\in\Bbb N_0$, la derivada se evalúa como $$ \begin{aligned} (1-D_x^{-(\nu+1)})e^x% &=e^x-x^{-\alpha}{_1\mathbf F_1}(\nu+1,\nu+2,-xD_x)e^x\\ &=e^x-x^{\nu+1}{_1\mathbf F_1}(\nu+1,\nu+2,-x)e^x\\ &=e^x(1-P(\nu+1,x))\\ &=e^xQ(\nu+1,x). \end{aligned} $$