Absoluta y convergencia uniforme de $\sum _{n=1}^{n=\infty }2^{n}\sin \frac {1} {3^{n}z}$

Question

Estoy tratando de mostrar a $\sum _{n=1}^{n=\infty }2^{n}\sin \frac {1} {3^{n}z}$ converge absolutamente para todos los valores de $z$ $(z=0$ se exceptúan$)$, pero no converge uniformemente cerca de $z=0$.

He observado que $\lim _{n\rightarrow \infty }\sin \frac {1} {3^{n}z}\rightarrow 0$ y también que $\left| \sin\frac {1} {3^{n}z}\right| \leq 1$ así que si reemplazamos todas las $sin\frac {1} {3^{n}z}$ partes nos encontramos con una serie geométrica y desde $|2| > 1$, y en tal caso sería diverge, de acuerdo a wolframalpha la serie converge por la prueba de razón de lo $\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\frac {2^{n+1}\sin \frac {1} {3^{n+1}z}} {2^{n}\sin \frac {1} {3^{n}z}} \right| = \lim _{n\rightarrow \infty }\left|\frac {2\sin \frac {1} {3^{n+1}z}} {\sin \frac {1} {3^{n}z}} \right|$ aquí no estoy seguro de cómo simplfy el pecado partes antes de tomar el límite . Supongo wolframalpha hizo este numéricamente por lo tanto la conclusión. También me di cuenta de que en $z = 0$ la serie no está definida, por tanto puede no ser uniformemente convergente alrededor de z=0, pero realmente me gustaría saber si hay ordinaria de la discontinuidad o discontinuidad removible en $z=0$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Para obtener la convergencia absoluta, sólo tiene que utilizar la desigualdad de $|\sin t|\leq |t|$ para cualquier número real $t$, que se estableció gracias al teorema fundamental de análisis:$|\sin t|=|\int_0^t -\cos sds|\leq \int_0^{|t|}\cos sds\leq |t|$.

Deje $S$ un subconjunto de a $\mathbb C$ de la forma $S:=\{z=0<|z|<\delta\}$, tenemos que demostrar que la convergencia no es uniforme en $S$. A ver que, tenga en cuenta que para $n$ lo suficientemente grande, más grande que decir $n_0$, $S$ contiene puntos de la forma $3^{-n}$, por lo que $\sup_{z\in S}\left|\sum_{n=N}^{+\infty}2^n\sin\frac1{3^nz}\right|\geq 2^N\sin 1,$ dado que los términos de $z=3^{-n}$ son no-negativos si $n\geq n_0$.

Answer 2

He aquí cómo usted puede completar el test del cociente para obtener convergencia absoluta en $z\ne 0$.

Fix $z\ne 0$. A continuación, $\left|\frac1{3^nz}\right|$ es lo suficientemente pequeña para un gran $n$, y por tanto, lo suficientemente grande $n$ tenemos $\sin\frac1{3^nz}\approx\frac1{3^nz}$ y

$$2^n\sin\frac1{3^nz}\approx\frac{2^n}{3^nz}=\left(\frac23\right)^n\frac1z\;.$$

En particular, se esperaría que la proporción de la prueba para dar una limitante de la relación de $2/3$. Si quieres hacer de esto un poco más cuidadosamente, hacer uso de la conocida límite de $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$$ de la siguiente manera:

$$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{2\sin\frac1{3^{n+1}z}}{\sin\frac1{3^nz}}&=2\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\frac1{3^nz}}{\sin\frac1{3^nz}}\cdot\frac{\sin\frac1{3^{n+1}z}}{\frac1{3^nz}}\right)\\ &=2\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{3^nz}}{\sin\frac1{3^nz}}\right)\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\frac13\sin\frac1{3^{n+1}z}}{\frac1{3^{n+1}z}}\right)\\ &=2\cdot 1\cdot\frac13\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac1{3^{n+1}z}}{\frac1{3^{n+1}z}}\\ &=\frac23\;. \end{align*}$$

Tenga en cuenta que aquí tuvimos $z$ fijo; para demostrar que la convergencia no es uniforme, vas a tener que mirar lo que sucede cuando las $z$ no se mantiene fijo, sino que es simplemente lleva a cabo cerca de $0$, y Davide Giraudo ha cubierto ya que bastante bien.