Podemos construir conjuntos no medibles del tipo Vitali. ¿Pero es este el único tipo de conjuntos no medibles? Es decir, ¿hay otros conjuntos no medibles construidos desde un enfoque diferente?
Por favor, proporcione algunas respuestas o referencias.
Gracias.
Sí, hay otras maneras.
Por ejemplo, la existencia de un ultrafiltro en ${ \mathbb N}$ es más débil que la existencia de la función de elección que se requiere en la construcción de Vitali, y basta para asegurar la existencia de conjuntos no medibles. Una forma de verlo es notar que podemos identificar los subconjuntos medibles de ${ \mathbb R}$ y los subconjuntos medibles de $2^{ \mathbb N}$ (el producto de infinitas copias de un conjunto de dos puntos, que dotamos con la topología del producto y la medida del producto), lo que se desprende del hecho de que podemos identificar las estructuras de Borel de estos dos espacios (véase la La clásica teoría descriptiva de conjuntos para los detalles).
Así que basta con argumentar que un ultrafiltro no principal nos da un subconjunto no medible de $2^{ \mathbb N}$ . Pero los resultados generales de la teoría ergódica nos dicen que un conjunto de "variantes de la cola" debe tener medidas $1$ o $0$ . Aquí, un juego $C$ es invariante iff para cualquier $a$ y $b$ infinitas secuencias de $0$ s y $1$ que están de acuerdo desde algún punto, o bien ambos $a$ y $b$ están en $C$ o ninguno de los dos lo es. Un ultrafiltro no principal se ve fácilmente como "invariante" de la cola, y se puede argumentar fácilmente que si es medible, debe tener medida $1/2$ (porque el mapa que envía $a$ a la secuencia $ \bar a$ que "voltea" todo $0$ s y $1$ s en $a$ mapea el ultrafiltro a su complemento, y es preservador de medidas; aquí pensamos en una secuencia de $0$ s y $1$ s como la función característica de un conjunto de números naturales, por lo que podemos identificar el ultrafiltro con un conjunto de secuencias).
Otro ejemplo proviene de la observación de que no se puede medir el orden de los reales (como un subconjunto del plano). Este es un resultado de Sierpiński que es esencialmente un refinamiento del resultado más conocido que bajo $ \mathsf {CH}$ un ordenamiento del tipo de orden más pequeño no es medible. El libro de Rudin sobre Análisis real y complejo tiene una prueba de este último hecho. Para la versión general, véase aquí .
Un ejemplo clásico que se utiliza con frecuencia se debe a Bernstein. Un conjunto $A$ es un conjunto Bernstein iff $A$ se encuentra con todos los innumerables conjuntos cerrados pero no contiene ninguno. Observe que el complemento de $A$ es también un conjunto de Bernstein, y que cualquier conjunto de medida exterior positiva debe cumplir ambos $A$ y su complemento. Estos conjuntos se describen cuidadosamente en el libro de Oxtoby Medida y categoría . Aquí hay un pregunta en el modus operandi sobre la relación entre los conjuntos de Vitali y Bernstein.
Otro ejemplo proviene del estudio de las bases de Hamel: Una base de Hamel es una base para $ \mathbb R$ entendido como un espacio vectorial sobre $ \mathbb Q$ . La lista continúa...
Lo único que tienen en común todos los ejemplos es que en algún momento deben apelar a una cantidad (algo significativa) del axioma elegido. Esto es esencial: Un famoso resultado de Robert Solovay muestra que es consistente que todos los conjuntos de reales son mensurables, y el debilitamiento de la elección conocido como el axioma de Las elecciones dependientes se mantiene.
Una buena referencia sobre este asunto es el libro
Alexander B. Kharazishvili. Conjuntos y funciones no medibles Estudios Matemáticos del Norte de Holanda, 195. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2004. MR2067444 (2005d:28001) .
"Medida y categoría" de John C. Oxtoby tiene un capítulo sobre conjuntos no medibles. Cubre los siguientes tres ejemplos de conjuntos no medibles:
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