Cota inferior para (función de) densidad de variable aleatoria bien comportada

Question

Supongamos que tenemos una variable aleatoria no negativa $\tilde{\theta}$ tal que $\mathbb{E}\tilde{\theta} = a > 0$ con varianza finita $\sigma^2$ . $\tilde{\theta}$ puede tomar valores de $0$ a $\overline{\theta} > a$ donde $\overline{\theta}$ puede ser infinita.

Sea la FCD de la variable aleatoria dada por $F(\theta) := \Pr\{\tilde{\theta} \leq \theta\}$ con una función de densidad estrictamente positiva $f(\theta) > 0$ en el interior de su soporte $[0, \overline{\theta}]$ . Para simplificar, podemos suponer que $f(\theta)$ es continua y diferenciable en todas partes.

A modo de ejemplo, $\tilde{\theta}$ podría extraerse de una distribución log-normal.

Mi pregunta es la siguiente Dada la configuración descrita, ¿podemos idear un límite inferior para $\max_{\theta} \theta f(\theta)$ de la variable aleatoria $\tilde{\theta}$ ?

Hasta ahora, sólo tengo un enfoque parcial: Si la varianza de $\tilde{\theta}$ es suficientemente pequeña, podemos emplear la desigualdad de Chebyshev, que nos dice que si una variable aleatoria con media $a$ tiene una varianza finita $\sigma^2$ al menos $1 - \frac{1}{k^2}$ de su masa de probabilidad debe caer en el rango $[a - k \sigma, a + k \sigma]$ para $k \geq 1$ .

Por lo tanto, para $\sigma < a$ existen valores de $k > 1$ que nos dan un límite inferior no trivial para la masa de probabilidad en un intervalo alrededor de $a$ que no abarca el cero.

En concreto, puesto que para $k > 1$ al menos $1 - \frac{1}{k^2}$ de la masa de probabilidad de $\tilde{\theta}$ se sitúa en el intervalo $[a - k \sigma, a + k \sigma]$ la densidad media en este intervalo debe ser como mínimo de $\frac{1 - \frac{1}{k^2}}{2k\sigma}$ .

Por lo tanto, para $k \in (1, \frac{a}{\sigma})$ podemos deducir que

$max_{\theta}\ \theta f(\theta) \geq (a-k\sigma)\left(\frac{1 - \frac{1}{k^2}}{2k\sigma}\right)$ .

Mi pregunta es ahora: ¿Podemos hacer más? Y lo que es más importante, ¿podemos decir algo para una varianza arbitraria $\sigma^2$ en particular si $\overline{\theta}$ ¿es infinito?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Piénsalo como un problema de cálculo de variaciones:

$$ \eqalign{\text{minimize}\ &r\cr \text{subject to}\ & \int_0^\infty f(\theta)\; d\theta = 1\cr &\int_0^\infty \theta f(\theta)\; d\theta = a \cr &\int_0^\infty \theta^2 f(\theta)\; d\theta = \sigma^2 + a^2\cr & 0 \le \theta f(\theta) \le r,\ 0 < \theta < \infty\cr}$$

Las funciones de prueba a considerar son de la forma $$ f_{bcr}(\theta) = \cases{r/\theta & for $ b \le \theta \le c $\cr 0 & otherwise\cr}$$ Esto satisface las restricciones si $$ \eqalign{ r \ln(c/b) &= 1\cr r (c-b) &= a\cr r (c^2-b^2)/2 &= \sigma^2 + a^2\cr}$$ Las dos primeras ecuaciones pueden resolverse para $b$ y $c$ : $$ \eqalign{ b &= \dfrac{a}{r(e^{1/r}-1)}\cr c &= \dfrac{a\; e^{1/r}}{r(e^{1/r}-1)}\cr}$$ y a partir de la tercera ecuación $$ \dfrac{e^{1/r}+1}{r(e^{1/r}-1)} = 2 + 2 \dfrac{\sigma^2}{a^2} $$ Que no tiene una solución de forma cerrada para $r$ pero aquí está su gráfico en función de $\sigma^2/a^2$ .

Answer 2

Si $\mathbb{E}\tilde{\theta}=a$ entonces $\max\theta f(\theta)\ge a$ .

Considere $\tilde{\theta}$ distribuido en el intervalo $(x,y)$ con densidad $f(\theta)=1/(\theta\log(y/x))$ para $x<\theta<y$ y cero en caso contrario. Esta distribución cumple $\max \theta f(\theta)=\mathbb{E}\tilde{\theta}$ . Así que, en general, no se puede mejorar el límite inferior anterior. Se puede pensar que si la variable aleatoria tiene varianza finita entonces $f(\theta)$ sería mayor y eso podría mejorar el límite. Pero no es así. Para esta distribución se puede hacer que la varianza sea infinitamente pequeña tomando $x$ cerca de $y$ o muy grandes separándolos mucho y siempre tendrás $\max \theta f(\theta)=\mathbb{E}\tilde{\theta}$ .