Prueba de multiplicación de las funciones de generación

Question

He aprendido que la multiplicación de dos funciones de generación f(x) y g(x) te da el resultado

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{j=0}^k a_j\,b_{k-j}\right)x^k. \end{ecuación*}

He usado el resultado, pero se presentó en mi clase sin prueba y estoy teniendo algunos problemas para el seguimiento de uno hacia abajo. Débil google-foo hoy en día, supongo. Puede alguien darme un puntero a una prueba? Si esta es una pregunta que mejor respondieron en forma de libro, que está bien así.

Answer 1

Casebash es correcto que esta es una definición y no un teorema. Pero la motivación de 3.48 (Definición de producto de la serie) de poco Rudin puede convencer a usted de que esta es una buena definición:
$\sum_{n=0}^{\inf} a_n z^n \cdot \sum_{n=0}^{\inf} b_n z^n = (a_0+a_1z+a_2z^2+ \cdots)(b_0+b_1z+b_2z^2+ \cdots)$
$=a_0b_0+(a_0b_1 + a_1b_0)z + (a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)z^2 + \cdots$
$=c_0+c_1z+c_2z^2+ \cdots $
donde $c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$

Answer 2

En realidad, es al revés. Una generación de función se define en general a tener una operación de adición, donde los componentes se agregan y una operación de multiplicación como la que usted menciona. Una vez que hemos hecho estas definiciones, se observa que los polinomios de obedecer a las mismas leyes y por lo que es conveniente para representar funciones de generación como infinito polinomios en lugar de sólo una infinita tupla.