La imagen de conjunto de Cantor es el conjunto de Cantor

Question

Me gustaría entender qué tipo de funciones de mapa de conjuntos de Cantor (nada densa, sin puntos aislados, compact) en $\mathbb{R}$ a otros conjuntos de Cantor de $\mathbb{R}$.

Esto es cierto para homeomorphisms? (sonidos naturales, como se debe preservar la estructura topológica).

De lo contrario, ¿cuáles son las condiciones suficientes para que una función $f$ a que tienen esta propiedad?

Muchas gracias.

Answer 1

Si $X$ es compacto y metrisable, entonces existe una función continua del conjunto de Cantor que es en $X$.

Esta $X$ puede ser un homeomorphism iff la única conectado subconjuntos de a $X$ son únicos y $X$ no tiene puntos aislados.

Pero las proyecciones $C \times C \to C$ muestran que dichas $f$ no necesita ser de 1-1, aunque es un mapa entre conjuntos de Cantor.

Answer 2

Una pregunta excelente. Uno que sinceramente es mejor respondidas por los profesionales de los analistas en el sitio, pero voy a darle un tiro.

Homeomorphisms sería, de hecho, el mapa el conjunto de Cantor en otros subconjuntos de a $\mathbb R$ que son topológicamente idéntica. Si por "un conjunto de Cantor", que significa que cualquier subconjunto de a $\mathbb R$ que es homomórfica a la original ternario construido conjunto de Cantor, entonces absolutamente que esto es cierto. De hecho, topologists han clasificado cualquier espacio topológico (independientemente de si es o no es un subconjunto de a $\mathbb R$) que es homomórfica a la original ternario construido conjunto de Cantor es llamado un espacio de Cantor. Resulta que hay muchos subespacios de la línea real que se Cantor espacios.

Trivally,por supuesto, el conjunto de Cantor es un espacio de Cantor. (Duh!) Pero usted podría estar muy sorprendido al enterarse de que el countably infinito topológico producto de {0, 1} con la topología discreta es también un espacio de Cantor. Este producto topológico de este punto 2 subconjunto de $\mathbb R$ usualmente es escrito como $2^{\mathbb {N}}$ o $2^ω$ donde 2 denota el 2-elemento del conjunto {0,1} con la topología discreta. Un punto en $2^ω$ es una infinita secuencia binaria, que es una secuencia que se supone que solamente los valores 0 o 1. Tan extraño como suena, un homeomorphism f existe en el conjunto de Cantor y en la que se construyen de la siguiente manera:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{2 a_n}{3^{n+1}}$$

Resulta que cada vacía totalmente desconectado compacto perfecto espacio métrico es homeomórficos para el conjunto de Cantor.

Mucho más se puede encontrar en el conjunto de Cantor y su topológico homólogos de Stephen Willard clásico de Topología General. Si usted está fascinado con este tipo de preguntas, que es el lugar natural para comenzar y está disponible en Dover barato de bolsillo ahora.

Espero que ayudaron,no se si lo hice.