¿Cuál es la suma de $\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k^{k}}$?

Question

Convergencia absoluta y convergencia uniforme son fáciles de determinar, por lo que este poder de la serie. Sin embargo, es trivial para calcular la suma de $\large\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k^{k}}$.

Answer 1

Vamos a definir : $\displaystyle f(t)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k^{k}} $

a continuación, como un estudiante de segundo año del sueño tenemos : $\displaystyle f(1)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k^{k}}=\int_0^1 \frac{dx}{x^x}$
(ver Havil bonito libro 'Gamma' para una prueba)
Me temo que no "forma cerrada" son conocidos por estas series (ni integral).

Relativa a una expresión asintótica para $t \to \infty$ puede (como se explica por Ben Crowell) el uso de la fórmula de Stirling $k!\sim \sqrt{2\pi k}\ (\frac ke)^k$ para obtener :

$$ f(t)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^k}{k^k} \sim \sqrt{2\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k}(\frac te)^k}{k!}\sim \sqrt{2\pi t}\ e^{\frac te-\frac 12}\ \ \text{as}\ t\to \infty$$

EDIT: $t$ que faltaba en la raíz cuadrada

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Buscar más términos (como $t\to \infty$) conseguí :

$$ f(t)= \sqrt{2\pi t}\ e^{\frac te-\frac 12}\left[1-\frac 1{24}\left(\frac et\right)-\frac{23}{1152}\left(\frac et\right)^ 2-O\left(\left(\frac e{t}\right)^3\right)\right]$$

Pero en 2001, David W. Cantrell propuesto siguiente expansión asintótica de la función gamma (ver también aquí y el 1964 el trabajo de Lanczos) : $$\Gamma(x)=\sqrt{2\pi}\left(\frac{x-\frac 12}e\right)^{x-\frac 12}\left[1-\frac 1{24x}-\frac{23}{1152x^2}-\frac{2957}{414720x^3}-\cdots\right]$$

así que vamos a calcular : $$\frac{f(t)}{\Gamma\left(\frac te\right)}\sim \sqrt{t}\left(\frac {e^2}{\frac te-\frac 12}\right)^{\frac te-\frac 12}$$

y otra aproximación de $f(t)$ es : $$f(t)\sim \sqrt{t}{\Gamma\left(\frac te\right)}\left(\frac {e^2}{\frac te-\frac 12}\right)^{\frac te-\frac 12}$$

Answer 2

Esto probablemente esté relacionado con la integral

$$\int_0^1 (tx)^x dx$$

Compruebe esto y esto

No tengo tiempo de hacerlo ahora, pero voy a editar en un tiempo.

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Lo he comprobado y como Sivaram señala que la integral es en realidad

$$t\int_0^1 x^{-tx} dx$$