Cómo probar que $ \omega_1 \leq \mathfrak p$

Question

Estoy tratando de entender el teorema anterior. $ \mathfrak p$ es la más pequeña cardinalidad de cualquier familia $ \mathcal F \subseteq [ \omega ]^ \omega $ que tiene la fuerte propiedad de intersección finita, pero no tiene una pseudo-intersección. Las definiciones son:

Una familia $ \mathcal F \subseteq [ \omega ]^ \omega $ tiene el fuerte propiedad de intersección finita si cada subfamilia finita tiene una intersección infinita. Además, un pseudo-intersección de una familia $ \mathcal F \subseteq [ \omega ]^ \omega $ es un subconjunto infinito de $ \omega $ que está casi contenido en cada miembro de $ \mathcal F$ . Donde $A$ es Casi contenido en $B$ significa que para todos, excepto quizás un número finito de elementos en $A$ , $a \in A \Rightarrow a \in B$ . También, $[ \omega ]^ \omega $ es el espacio de todos los subconjuntos infinitos de $ \omega $ .

Tengo una prueba del teorema (en la foto de abajo), que de alguna manera no logro entender. No entiendo quién es $a_0$ ? Es $X_0$ una secuencia infinita de $[ \omega ]^ \omega $ ?

Gracias, Shir

Answer 1

Para mostrar que $ \omega_1\leq\frak p$ basta con mostrar que $ \omega\neq\frak p$ . Es decir, dada una familia contable con una fuerte propiedad de intersección finita, debe tener una pseudo-intersección.

Así que supongamos que $\{X_n \in [ \omega ]^ \omega\mid n \in\omega\ }$ es una familia con la fuerte propiedad de intersección finita, definimos $a_0= \min X_0$ que para los ordinales es lo mismo que $ \bigcap X_0$ . A continuación definimos $$a_n = \min\left\ {m \in\omega\mathrel {} \middle | \mathrel {} m \in\bigcap_ {k<n}X_n \setminus\ {a_k \mid k<n\} \right\ }$$

Finalmente afirmamos que $Y=\{a_n \mid n \in\omega\ }$ es una pseudo-intersección de nuestro $X_n$ porque por cada $n \in\omega $ , $Y \setminus\ {a_k \mid k<n\}$ es un subconjunto de $X_n$ (recuerde cómo $a_n$ fue elegido).