Cada divisor primo ( $p \neq 5$ ) $n^2+n-1$ es de la forma $10k+9$

Question

Ahora, lo que he hecho hasta ahora es la siguiente:

Deje $p$ ser un primo tal que $p | n^2+n-1$, $n^2+n-1 \equiv 0 \pmod p$

Esta congruencia tiene una solución si y sólo si $x^2 \equiv \Delta \pmod p$ tiene una solución, donde $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-1) = 5$.

Desde $\Delta = 5$, esto tiene una solución iff $(\frac{5}{p}) = 1$ (el símbolo de Legendre).

Y este símbolo de Legendre es $1$ fib $p \equiv 1, 4 \pmod 5$

Que, a su vez, significa $p \equiv 1, 4, 6, 9 \pmod {10}$. Pero $p$ no puede ser congruente a $4$ o $6$ modulo $10$, de lo contrario no sería un primer.

Por lo tanto, $p \equiv 1, 9 \pmod {10}$.

¿Cómo deshacerse de la $p \equiv 1 \pmod {10}$ solución y demostrar que sólo puede ser congruentes a $9$, es decir, ser de la forma $10k + 9$, para algún k?

Es esto una prueba válida para todas las opciones de $p\neq 5$? Si es así, mayhap mi maestro me olvidé de la $p$ de la forma $10k+1$?

Answer 1

Como indican los comentarios, la afirmación es claramente falsa si sólo consideramos positivo de los factores primos. Pero, si tenemos en cuenta los números primos más de los números enteros, entonces ellos vienen en inverso aditivo de a pares. Por lo tanto por la elección adecuada de la señal de cualquier permitido primer factor podría ser $10k+1$ o $10(-k)-1$ para algunos entero $k$.

Excepto, por supuesto, de que la proposición de $(5|p)=+1$ no es necesario. Ciertamente, $(5|p)=-1$ falla, pero también puede ser$(5|p)=0$ --$p=5$. Debe permitir o excluir específicamente $5$ o más de los enteros $\pm 5$, como factor principal.