Tenemos que averiguar
$$\sum {\binom{N}{a_1,a_2,a_3...a_B} a_1^{\alpha}a_2^{\alpha}...a_C^{\alpha} }$$
$$a_1+a_2...a_B=N, \alpha>0 ,0\lt C \le B$$
Todos son números enteros no negativos.
Necesitamos suma de todos los $a_i$. $N$,$B$ y $C$ son constantes.
Me preguntaba si una forma cerrada o una recurrencia existe. Traté de solucionarlo y fracasó miserablemente. Todas las sugerencias son bienvenidas.
La suma es difícil mientras que la búsqueda de todas las permutaciones de $a's$. Para un similar problema que he encontrado la Ecuación-15 útil en el siguiente documento:
https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Eger/eger6.pdf
La suma se convierte en simple incremental variable y el producto de los coeficientes binomiales. La esperanza de que iba a ayudar a usted también.
La suma:
$$ \sum_{a_1 + a_2 + \dotsb + a_B = N} \binom{N}{a_1, a_2, \dotsc, a_B} x_1^{a_1} x_2^{a_2} \dotsm x_B^{a_B} = (x_1 + x_2 + \dotsm + x_B)^N $$
Tenga en cuenta que si $A(z) = \sum_{n \ge 0} a_n z^n$, entonces:
$$ z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} (z) = \sum_{n \ge 0} n a_n z^n $$
Haciendo esta operación $\alpha$ tiempos para cada una de las $x_i$, y el establecimiento $x_1 = x_2 = \dotsb = x_B = 1$ en el resultado de su suma no es bastante...
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