Una secuencia de variables aleatorias que converge en distribución converge "a" algunos variable aleatoria

Question

Deje $(X_n)$ ser una secuencia de variables aleatorias en un espacio de probabilidad $\Omega$, con funciones de distribución de $F_n$. Supongamos $F_n \rightarrow F$ en la distribución por alguna función de distribución de $F$. Debe haber una variable aleatoria $X$ $\Omega$ $X_n \rightarrow X$ en la distribución?

Esto parece como el tipo de resultado que uno quisiera ser cierto, pero yo no podía pensar en una manera de demostrarlo. Para ello, será necesario que de alguna manera definen $X$ "hacia atrás", dada su distribución $F$. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Para cada función de distribución de $F$ existe variables aleatorias $X$ tal que $F=F_X$. Una manera de exhibir dicha variable aleatoria es establecer $X=G(U)$ donde $U$ es uniforme en $(0,1)$ $G$ es un (extended) inversa de a $F$. La función $$ G:u\mapsto\inf\{x\a mediados de F(x)\geqslant u\} $$ podría hacer el trabajo, pero usted debe comprobar el signo de la desigualdad.

Edit: Por un contraejemplo, se debe considerar la $\Omega$ tal que no es uniforme variable aleatoria $U$ como anteriormente existe en $\Omega$. Considere la posibilidad de $\Omega=\mathbb N$ con el sigma-álgebra $2^\Omega$$\mathbb P(\{n\})=p_n$. Llame a $S\subseteq\mathbb N$ el conjunto $S=\{s(K)\mid K\subseteq\mathbb N\}$ donde$s(K)=\sum\limits_{n\in K}p_n$$K\subseteq\mathbb N$. Elija $(s_n)\subseteq S$ tal que $s_n\to s$. A continuación,$X_n=\mathbb 1_{K_n}$,$s_n=s(K_n)$, converge en distribución a una variable aleatoria de Bernoulli $X$ con el parámetro $s$, por lo tanto, si $s$ no está en $S$, $X$ no puede ser definida en $\Omega$. Para completar la prueba, uno debe exhibir $(p_n)$ de manera tal que el conjunto $S$ no está cerrado. Por el momento, no sé si esto es posible...