Mostrar que un no constante subarmónicos de la función en un colector no puede alcanzar su supremum

Question

PROBLEMA: Supongamos $f$ es una superficie lisa y no-función constante conectado a un colector de Riemann $M$ de la dimensión 2 que $f$ es limitado y $\Delta_M f \ge0$. Espectáculo $f$ no puede alcanzar su supremum.

Yo intente reducir el problema al caso especial $M=\mathbb R^2$. En este caso podemos utilizar el valor medio de la propiedad.

Lo que es más, este problema puede ser generalizado a cualquier conectados Riemann colector $M$ de una dimensión arbitraria n?

Answer 1

Supongamos que el subarmónicos de la función $u:M\to\mathbb R$ alcanzado su supremum en $x\in M$. Tome un pequeño vecindario $U$ $x$ homeomórficos a un disco. Entonces por el teorema de uniformización $U$ es conformemente equivalente a la unidad de disco. Deje $\phi:D\to U$ ser el mapa de conformación. El Laplaciano es invariantes conformes en dos dimensiones, por lo $\Delta u\geq0$ $U$ implica que el $\Delta (u\circ\phi)\geq0$ sobre el disco de $D$. Pero en el plano Euclidiano tenemos el principio del máximo para los subarmónicos funciones, por lo $u$ tiene que ser constante en $U$.

Esto demuestra que el conjunto donde $u$ alcanza su supremum está abierto, y por la continuidad de $u$ es también cerrado. Por lo tanto, si $u$ alcanza su supremum, tiene que ser constante en el componente conectado.

Para dimensiones superiores a la uniformización teorema puede ser utilizado, y una reducción similar a la distancia Euclídea caso no es posible. Algo más inteligente será necesario, pero sospecho que el resultado es cierto.

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Añadido posterior: Permítanme elaborar un poco sobre la conformación transforma y el Laplaciano. Tenemos un mapa de conformación $\phi:D\to U$ y una función de $u:U\to\mathbb R$. Nos gustaría ser capaces de comparar los $\Delta_D(u\circ\phi)$$(\Delta_U u)\circ\phi$, ambas funciones $D:\to\mathbb R$. Sabemos que $(\Delta_U u)\circ\phi\geq0$ y nos gustaría concluir que $\Delta_D(u\circ\phi)\geq0$.

Conformality significa que existe una función de $\eta:D\to\mathbb R$, de modo que $g_D=e^{2\eta}\phi^*g_U$. Aquí $g_D$ $g_U$ son las métricas de Riemann en $D$ y $U$ ($g_D$ es la métrica Euclidiana) y $\phi^*$ es el pullback sobre $\phi$. Muchos objetos se comportan relativamente bien en virtud de conformación de los cambios, tal como se documenta en la Wikipedia (y en otros lugares, por supuesto). En particular, en la dimensión dos, el de Laplace-Beltrami operadores relacionados con estas dos métricas están relacionadas de modo que $\Delta_D(u\circ\phi)=e^{-2\eta}(\Delta_U u)\circ\phi$. (En el artículo de la Wikipedia, encontrar la fórmula para $\tilde\Delta f$ y aviso de que contiene no deseados a largo plazo con un coeficiente de $(n-2)$.) Esto nos da lo que quería.