Calcular el límite de $[(2n)!/(n!)^2]^{1/n}$ $n$ tiende a $\infty$

Question

Análisis de libros de texto por Shanti Narayan, está pidiendo a probar el límite de $\lim {\left({\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}}\right)}^{1/n} \to \frac{1}{4}$ $n \to \infty$. Lo intenté, pero fue incapaz de encontrar la solución. Incluso Wolfram Alpha es decirle al límite de ser $4$. Por favor, ayuda!

Answer 1

Una simple prueba se basa en la observación de que $\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$ es la central de coeficiente binomial $\displaystyle{ {2n} \choose n}$.

Buscar en la fila $2n$ en el triángulo de Pascal. La suma de todos los términos es$2^{2n}= 4^n$${{2n} \choose n} \le 4^n$. Por otra parte, la central de coeficiente binomial es el mayor número en la fila y por lo $4^n \le (n+1){{2n} \choose n}$. Por lo tanto $$ \frac{4^n}{n+1} \le {{2n} \elegir n} \le 4^n $$

Desde $(n+1)^{1/n} \to 1$, llegamos a la conclusión de que ${{2n} \choose n} ^ {1/n} \to 4$.

Answer 2

Si utiliza la aproximación de Stirling $$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$ then you get $${\left({\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}}\right)}^{1/n} \approx {\left({\dfrac{\sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}}}\right)}^{1/n} = 4\left(\frac{1}{n\pi}\right)^\frac{1}{2n} \approx 4.$$

No es difícil traducir esto en el lenguaje de los límites.

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \frac{(2(n+1))!}{(n+1)!^2} &=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)}\frac{(2n)!}{n!^2}\\ &=4\left(1-\frac{1}{2n+2}\right)\frac{(2n)!}{n!^2}\\ \end{align} $$ Por lo tanto, lo que estamos buscando es $$ \begin{align} \left(\frac{(2n)!}{n!^2}\right)^{1/n} &=4\left(\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{1}{2k+2}\right)\right)^{1/n}\\ &\to4 \end{align} $$ Dado que los términos en que el producto tienden a $1$, y el límite de los medios geométrica de la no-cero términos con un límite de $L$$L$.

Answer 4

Como un ejercicio anterior se puede demostrar que $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln \left(\frac{n}{k}\right)=-\int_0^1\ln t\, dt=1.\tag{1}\label{eq1}$$ Tenga en cuenta que $$\begin{align*} \ln\left(\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\right)^{1/n} &=\frac{1}{n}\left[ \sum_{k=1}^{2n} \ln k-2\sum_{k=1}^n \ln k \right]\\ &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln(n+k)-\ln(k)\\ &= \frac{1}{n}\left[\sum_{k=1}^n\ln n+\sum_{k=1}^n\ln\left( 1+\frac{k}{n} \right)-\sum_{k=1}^n\ln k\right]\\ &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\left(\frac{n}{k}\right)+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln\left( 1+\frac{k}{n} \right). \end{align*}$$ Tenga en cuenta que en la última igualdad, el segundo término es una suma de Riemann $t\mapsto \ln t$$[1,2]$. El uso de \eqref{eq1} tenemos $$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\ln\left(\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\right)^{1/n} &= -\int_0^1\ln t\, dt+\int_1^2 \ln t\, dt\\ &=1+(-1+\ln 4), \end{align*}$$ así $$\lim_{n\to\infty}\ln\left(\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\right)^{1/n}=\ln 4.$$ By the continuity of $t\mapsto e^t$ you get $$\lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\right)^{1/n}=4.$$

Answer 5

No hay realmente nno alabanza de utilizar el stirling fomula para calcular esta integral, podemos utilizar stolz fórmula para caluate

$I_{n}=(\frac{(2n)!}{(n!)(n!)})^{\frac{1}{n}}$ El uso de stolz fórmula podemos obtener $\quad$ $\lim log I_{n}=\lim log(\frac{2(2n+1)}{n+1})=log4 $