Suma de los cubos de la prueba

Question

Demostrar que para cualquier número natural n la siguiente igualdad se tiene:

$$ (1+2+ \ldots + n)^2 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 $$

Creo que tiene algo que ver con la inducción?

Answer 1

Por inducción:

para $n=1$ funciona. Entonces, supongamos que funciona para una $n$. A continuación, $$(1+...+n+(n+1))^2=\underbrace{(1+...+n)^2}_{=1^3+...+n^3\ by\ hyp.}+2(1+...+n)(n+1)+(n+1)^2$$$$=1^3+...+n^3+(n+1)\big(2\underbrace{(1+...+n)}_{=\frac{n(n+1)}{2}}+(n+1)\big)$$$$=1^3+...+n^3+(n+1)\big(n(n+1)+(n+1)\big)$$$$=1^3+...+n^3+(n+1)(n+1)(n+1)$$$$=1^3+...+n^3+(n+1)^3.$$

Q. E. D.

Answer 2

Aquí una ilustración. La superficie es el cuadrado de la suma. Demostrar que cada capa adicional (en diferentes colores) es una de las quería cubo y será hecho.

Answer 3

Esta solución supone que está permitido el uso de $$ V_1 = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\\ V_2 = \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ Utilizar el método de perturbación de la (establecer la suma de los cubos de igual a $V_3$. Considere la posibilidad de $$ S_n = \sum_{k=1}^{n}k^4 $$ entonces $$ S_n + (n+1)^4 = 1 + \sum_{k=1}^{n}(k+1)^4 = 1+S_n + 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k +n $$ Obviamente $S_n$ cancela, usted sabe $V_1$$V_2$, de modo que usted puede obtener el valor de $V_3$ y ver que es igual a $\frac{(n(n+1))^2}{4}$.

Answer 4

Hay otra manera, si te gusta telescópico:

Deje $V_k = (k-1)*k*(k+1)*(k+2)$ $U_k$ = Vk+1 - Vk

$U_k$ = $k*(k+1)*(k+2)*[(k+3) - (k-1)]$ = $4*k*(k+1)*(k+2)$

= $4*k^3 + 12*k^2 + 8*k$

Así que si usted sabe $1+4+9+..+n^2$ usted puede obtener su suma bastante fácilmente por la suma de las $U_k$ de 1 a n-1, se obtiene:

$V_n$ -0 = $4*S_n + 12*C_n + 8*D_n$ , donde $S_n$ es la suma parcial de la plaza y la $C_n$ la suma parcial de los cubos, y $D_n$ la suma parcial de los números enteros

$S_n = \frac{n*(n+1)*(2*n+1)}{6}$ , $D_n = \frac{n*(n+1)}{2}$, si usted no sabe su valor