Suma de los pedidos es cero, la función de campo

Question

Deje $f \in \mathbb{C}(X)^\times$. No necesariamente se sigue que$$\sum_{v \in \mathbb{CP}^1} \text{ord}_v(f) = 0?$$Here, $\texto{ord}_v$ denotes the order of zero of $f$ at $v$.

La actualización. $C(X)^\times$ denota el campo de funciones racionales con coeficientes complejos.

Answer 1

Escribir $f$ como fracción de dos no-cero polinomios, de manera que si se demuestra esto por un polinomio en $X$, que sería el hecho, ya que el $\mathrm{ord}_v(p/q)=\mathrm{ord}_v(p)-\mathrm{ord}_v(q)$. Si $p(X)$ es un polinomio en $X$, $\sum\mathrm{ord}_v(p)=\deg p$, donde $v$ se ejecuta a través de las valoraciones de finito de lugares. Uno fácilmente se comprueba que $\mathrm{ord}_{\infty} (p)=-\deg p$ y así está hecho.