Si $\binom{n_1}{r}=\binom{n_2}{r}$ ,entonces es cierto que $n_1=n_2?$

Question

Conozco la identidad que si $\binom{n}{r_1}=\binom{n}{r_2}$ Entonces, o bien $r_1=r_2$ o $r_1=n-r_2$ .

Pero quiero preguntar si $\binom{n_1}{r}=\binom{n_2}{r}$ ,entonces es cierto que $n_1=n_2?$ No estoy seguro de si esto es cierto o no.

Answer 1

La identidad $\binom{n+1}r=\binom nr+\binom n{r-1}$ debería indicarle fácilmente para qué valores de $r\ge 1$ la función $n\mapsto \binom nr$ es estrictamente creciente.

Answer 2

Siento que no sea una respuesta completa pero espero que pueda ayudarte.

p=>q $\,\,\,\,\,\,\,\,$ ~q=>~p

p:= $\binom{n_{1}}r= \binom {n_{2}}r$

q:= $n_{1} = n_{2}$

demostramos :

si ~q := $n_{1} \neq n_{2}$

entonces ~p:= $\binom{n_{1}}r\neq \binom {n_{2}}r$

$\binom{n+1}r-\binom nr=\binom n{r-1}$

$n_{1}:=n+1$

$n_{2}:=n$

si ~p es falso entonces p es verdadero y si P es verdadero tenemos

$\binom{n_{1}}r= \binom {n_{2}}r$

y de: $\binom{n+1}r-\binom nr$ = $\binom{n_{1}}r- \binom {n_{2}}r$$ =binom n{r-1}$

$\binom{n_{1}}r-\binom {n_{2}}r=\binom n{r-1}=0$

así que $\binom n{r-1}=0$

que siempre es falso

por lo que demostramos que ~q=>~p y encontramos que p=>q

Answer 3

Para $n\ge r\ge1$ , $\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\gt0$ .

Sin embargo, $\binom{-n}{r}=(-1)^r\binom{r+n-1}{r}$ dice que incluso para $r$ puede haber dos soluciones para $\binom{n_1}{r}=\binom{n_2}{r}$ .

Por ejemplo, $$ \binom{5}{2}=\binom{-4}{2} $$