Pregunta de Putnam ' 08: dado el $F_n(x)$, encontrar $\lim_{n\to\infty}\frac{n!F_n(1)}{\ln(n)}$

Question

Enunciado Del Problema: Vamos A $F_0(x) = \ln(x)$. Para$n\ge0$$x\gt0$, vamos a $F_{n+1}(x) = \int_0^xF_n(t)dt$. Evaluar $$\lim_{n\to\infty}\frac{n!F_n(1)}{\ln(n)}$$ Fuente: Putnam 2008, Problema B2.

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Mi solución:

En primer lugar, demostrar por inducción que: $$F_n(x) = \frac{x^n}{n!}\left(\ln(x) - H_n\right)$$ ...donde $H_n$ $n$ésimo número armónico. (Inducción de la prueba omitida debido a que es trivial, y no se refieren a mi pregunta)

Entonces, el límite se convierte en: $$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{n!F_n(1)}{\ln(n)} &= \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\ln(n)}\frac{1^n}{n!}\left(\ln(1) - H_n\right) \\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{\left(\ln(1) - H_n\right)}{\ln(n)}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{-H_n}{\ln(n)}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{-H_n}{\ln(n)} \tag{1}\\ &= -\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n) + \gamma}{\ln(n)} \tag{2}\\ &\overset{\text{L'H}}{=} -\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \tag{3}\\ &= -1 \tag{4}\\ \end{align}$$

(donde $\gamma$ es la Constante de Euler)

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Mis Preguntas

1. Para Putnam estilo de calificación, tengo que demostrar que el límite existe, por definición (por ejemplo, $\epsilon-\delta$ prueba)?
2. ¿Tengo que demostrar que puedo aplicar el límite de las normas (por ejemplo, de L'Hospital de $(2)$$(3)$) a los límites de las variables discretas?
3. Entre las líneas de $(1)$$(2)$, hice un salto basa en la definición que $\lim_{n\to\infty}(H_n - \ln(n)) = \gamma$, $n$ se convierte en grande, $H_n$ es de aproximadamente $\ln(n) + \gamma$. Yo estoy más incómodo acerca de este paso, ya que se siente como una "parte de atrás del papel" especie de sustitución y no de una rigurosa. Es este un justificado paso?

Y, por supuesto, estaría abierto a sugerencias y/o comentarios en el estilo de mi solución general y de rigor, pero los tres puntos son los más importantes a los que estoy buscando respuestas.

Answer 1

Me siento como su percepción de este problema puede ser al revés: a mi mente, la inducción para demostrar la forma de $F_n(x)$ es la 'carne' de el problema, y una vez que tienes el resultado es el resto del problema trivial. Para responder a sus preguntas específicas, sin embargo: usted no debería necesitar un épsilon-delta prueba de límites en un Putnam; una vez que usted tiene una forma explícita para $F_n$ (y tenga en cuenta que la primera integral es impropia para un poco de justificación pueden ayudar allí), se puede manipular el límite un poco — siempre y cuando usted no hace nada indebido, usted debería estar bien.

En este caso, si usted no sabe la forma de la serie Armónica de forma explícita (y yo personalmente $H_n = \ln n+O(1)$ como lo suficientemente bien establecido que no necesitan independiente de la justificación, pero no me culpa a alguien para sentir de otra manera), entonces usted puede utilizar Riemann estimaciones para $\int_1^n \frac1x dx$ al límite: acaba de romper como $\sum_{i=1}^{n-1}\left(\int_i^{i+1}\frac1xdx\right)$ y observe que la integral entre paréntesis se encuentra acotada entre $\frac1{i+1}$$\frac1i$. Sumando, esto da $\ln n\leq H_n\leq \ln n+1$, y eso es más que suficiente para dar el resultado: desde $F_n(1) = -\frac{H_n}{n!}$$-\frac{\ln n+1}{n!}\leq F_n(1)\leq -\frac{\ln n}{n!}$$-\left(1+\frac1{\ln n}\right)\leq \frac{n!F_n(1)}{\ln n}\leq -1$; la presión aquí es trivial, y no necesita de L'Hospital de la regla en absoluto.

En general, el rigor en el concurso de problemas debe ser alentado, pero también debe ser la última cosa que trabajar; para un examen como el Putnams donde (casi seguro) no será capaz de completar todos los problemas, poniendo esfuerzo en un nuevo problema en mi humilde opinión es más probable que los frutos (y puntos) que las últimas gotas de rigor en un problema ya que ha conseguido un resultado.