¿Cómo usted calcular el espacio de ascensores de un mapa E infinito?

Question

Vamos a X, Y y B $E_\infty$ espacios, y deje $p: X \rightarrow Y$ $f: B \rightarrow Y$ $E_\infty$ mapas. Nos puede solicitar el espacio de los ascensores de f a través de p, que es el espacio de la $E_\infty$ mapas de $g: B \rightarrow X$ tal que $pg = f$.

P1: ¿Qué espectral de secuencias o de otro tipo de tecnología existe para el cómputo de la (homotopy grupos de la) espacio de E-infinito ascensores?

Cualquier $E_\infty$ levante $g: B \rightarrow X$ proporciona un levantamiento del mapa de la conmutativa monoids $\pi_0 B \rightarrow \pi_0 Y$ a través del mapa de $\pi_0 X \rightarrow \pi_0 Y$.

P2: ¿todas las técnicas de la computación E-infinito ascensores en efecto primer lugar, es necesario resolver esta $\pi_0$ elevación problema en conmutativa monoids, y comenzar una obstrucción de cálculo a partir de allí, o hay técnicas que resolver tanto el $\pi_0$ problema y el E-infinito problema 'simultáneamente' y tal vez de una forma que facilita los cálculos?

Estoy particularmente interesado en simplemente saber si existe un $E_\infty$ levante, lo que podría haber pedido la aparentemente pregunta básica:

Q1: Cuando hay un E-infinito ascensor de un E-infinito mapa?

Creo que la obstrucción de los grupos de responder a Q1' están obligados a venir incluido en las respuestas a Q1/Q2, pero si hay diferentes técnicas para la existencia de la pregunta, que también sería útil.

Comentario: me imagino que la respuesta a Q1 relacionado con Andre-Quillen cohomology podría ser extraído de Goerss-Hopkins, Módulos de Problemas Estructurados Anillo de Espectros, pero tal vez hay más medios elementales. Yo estaría muy interesado en busca de respuestas a Q1 a lo largo de aquellos o, sobre todo, otras líneas de pensamiento y las ideas acerca de la Q2. Gracias!

Answer 1

Si $Y$ $B$ son grouplike, entonces la pregunta, por supuesto, de inmediato, se reduce al caso de los espectros: El mapa de $X\rightarrow B$ factores a través del grupo de finalización $\Omega B X$$X$, por lo que puede deloop todo para conseguir los correspondientes espectros. Una vez que estás en la configuración de la conectivo espectros, hay espectral de secuencias disponibles, el más evidente es el basado en el Postnikov de filtración. (Esto empieza con averiguar la $\pi_0$ de los casos, a continuación, de forma inductiva de trabajo a través de la mayor homotopy grupos, de manera afirmativa a Q2. No estoy, por desgracia, optimista acerca de su esperanza en la Q2.)

Usted puede reducir al caso de los espectros con el más modesto de la suposición de que la inducida por el mapa de $\pi_0 K \rightarrow \pi_0 \Omega B K$ es una inyección, para $K = B, Y$. En este caso, usted puede grupo completo de todo, y, a continuación, tratar de resolver el problema de los correspondientes espectros. Una $E_\infty$ levante $X\rightarrow Y$ $B$ será el mismo que el de un $E_\infty$ elevación de la correspondiente grupo de las terminaciones de la satisfacción de un adicional de $\pi_0$ condición, que la imagen de $\pi_0 X\rightarrow \pi_0\Omega BX \rightarrow \pi_0 \Omega B Y$ se encuentra en $\pi_0 Y$.

Tal vez usted puede ampliar este enfoque para lidiar con la más general monoids, por escrito como extensiones ${\rm Fiber} \rightarrow Y \rightarrow \Omega B Y$. (Pero no se puede estar interesado en esas, ¿no?)

Answer 2

El problema con el subyacente monoid parece complicarlo todo, de una manera similar a cómo Postnikov descomposiciones son complicadas por el $\pi_1$ problema. En ese caso, la técnica común es arreglar $G = \pi_1$ y considerar la torre de Postnikov de funcionamiento en la categoría de los espacios de más de $K(G,1)$ más que en el ordinario de la categoría de los espacios.

Así que no veo mucha esperanza inmediatamente para obtener el $\pi_0$ problema de la forma al mismo tiempo; parece que los colores de todo el problema.

Una vez que usted haya decidido sobre una elevación $\pi_0 B \to \pi_0 X$, sin embargo, se puede corregir el subyacente monoid porque entonces usted está reducido al estudio de ascensores $B \times_{\pi_0 Y} \pi_0 X \to X$$\pi_0 X$.

Si, a continuación, corregir $M = \pi_0 X$, entonces ciertamente hay algún tipo de obstrucción en la teoría, pero el problema es identificar la obstrucción de clases como la que proviene de algo cohomological que en realidad se puede calcular. A mí me parece que uno debe estudiar la monoidal simétrica de la categoría de "espacios de más de $M$", con un producto que tenga fibras $$ (X \estrellas Y)_m = \coprod_{m' m" = m} (X_{m} \times Y_{m"}) $$ (que es algún tipo de izquierda Kan extensión), y tratar de conseguir algunos de manija.

Incluso cuando $M = \mathbb{N}$ la teneduría de libros se complica. Entonces estás estudiando "calificada $E_\infty$ espacios" y su obstrucción a la teoría de la tierra en algo como cohomology con coeficientes en la relación homotopy grupos de $Y$$B$, pero usted está tomando cohomology de la "deriva indecomposables" en su $E_\infty$ espacio. El cero - espacio de derivados indecomposables de una $E_\infty$ espacio $B$ $\mathbb{N}$ es la topológico Andr\'e-Quillen homología objeto de $B_0$. Incluso si $B_0$ es trivial, entonces el cero-esima derivada indecomposable espacio es trivial, la primera es $B_1$, y el siguiente es el homotopy cofiber de la cuadratura del mapa de $(B_1 \times B_1)_{h\mathbb{Z}/2} \to B_2$.

Basados en este tipo de perdiendo el tiempo todo me inclino a creer que su obstrucciones, posiblemente, puede ocurrir en la relación topológica Andre-Quillen cohomology de $\Sigma^\infty_+ B$ $\Sigma^\infty_+ M$ con coeficientes en la relación homotopy de $X$$Y$. Pero el problema parece muy difícil que un general monoid $M$.

(Especialmente evidenciada por el hecho de que Charles Rezk no ha aparecido por aquí con una respuesta aún).