Deje $p=2^{2^k}+1$ ser una de las primeras donde $k\ge1$. Demostrar que el conjunto de la cuadrática no residuos de mod $p$ es el mismo que el conjunto de raíces primitivas de mod $p$. Use esto para mostrar que $7$ es una raíz primitiva de mod $p$.
Ya he demostrado el teorema para ser verdad. La segunda parte se pide el uso de la primera parte para mostrar el resultado de lo que me lleva a pensar que tengo que mostrar a $7$ es una ecuación cuadrática no-residuo de mod $p$ , a continuación, utilizar la primera parte implica que debe ser una raíz primitiva.
Para mostrar $7$ a ser una ecuación cuadrática no-residuo de $k\ge1$ es para mostrar que el símbolo de Legendre $\left(\frac{7}{p}\right) = -1$. Ahora, $$\left(\frac{7}{p}\right)=\left(\frac{p}{7}\right)(-1)^{\left(\frac{7-1}{2}\right)\left(\frac{p-1}{2}\right)} = \left(\frac{p}{7}\right)(-1)^{3(2^{(2^k)-1})} = \left(\frac{p}{7}\right)$$ desde $2^{2^k-1}$ es incluso (como $k\ge1$).
A continuación, basta con saber $p$ mod $7$ para determinar el símbolo de Legendre. Desde $\left(\frac{p}{7}\right) = -1$ cuando $p\equiv 3,5,6$ mod $7$, sospecho que de alguna manera tiene que demostrar que $p$ debe ser congruente con los valores, pero no sé cómo hacerlo. A pesar de que, trivialmente, $p\not\equiv 1$ mod $7$ lo contrario, $7|2^{2^k}$ que no es posible.
Por desgracia, no sé a dónde ir desde aquí.
Cualquier orientación se agradece. Sin embargo, suponiendo que yo he tomado el enfoque correcto, yo preferiría una sugerencia constructiva para un completo soplado de solución, como creo que puede ser capaz de resolverlo por mi cuenta, dado un empujón en la dirección correcta.
Gracias por tomar el tiempo.
