Valor exacto de la medida de Hausdorff del conjunto bidimensional de Cantor

Question

Dejemos que $\mathcal{C}$ denota el conjunto clásico de Cantor, entonces es bien sabido que $\mathcal{C}$ tiene dimensión Hausdorff $\alpha = \ln 2 /\ln 3$ y su $\alpha$ -de Hausdorff es $\mathcal{H}_\alpha(\mathcal{C}) = 1$ .

Para $\mathcal{C}\times \mathcal{C}\subset \mathbb{R}^2$ es bastante fácil demostrar que su dimensión de Hausdorff es $2\alpha$ y $0< \mathcal{H}_{2\alpha}(\mathcal{C}\times \mathcal{C}) <\infty$ . Estoy interesado en conociendo el valor exacto de $\mathcal{H}_{2\alpha}(\mathcal{C}\times \mathcal{C})$ .

La prueba para el caso 1D $\mathcal{H}_\alpha(\mathcal{C}) = 1$ no puede llevar directamente a la dimensión superior.

Esta respuesta afirma que la medida es $1$ y se refiere al libro de Falcon La geometría de los conjuntos fractales . Sin embargo, después de mirar realmente el libro, no dice nada sobre la medida de Hausdorff (sólo la dimensión de Hausdorff) para cualquier conjunto no-1D (al menos en la posición citada).

No obstante, es posible que la medida de Hausdorff no admita una forma cerrada simple, como se espera para muchos fractales en $\mathbb{R}^n$ con $n>1$ . Cualquier idea/referencia es muy apreciada.

Answer 1

Esbozo de una posible solución: podemos construir $C\times C$ de la misma manera que construimos $C$ es decir, a partir de $C_0:=[0,1]$ , $C_1:=[0,1/3]\cup[2/3,1]$ y así sucesivamente $$C\times C=\bigcap_{k=0}^\infty C_k\times C_k\tag1$$

Establecer $A_k:=C_k\times C_k$ entonces $A_k$ se compone de $4^k$ cuadrados de lado $3^{-k}$ Esto significa que cada cuadrado tiene un diámetro $\sqrt 2/3^k$ .

Para los conjuntos medibles, la medida de Hausdorff está definida por el límite $\mathcal H^s(A)=\lim_{\epsilon\to 0^+}\mathcal H^s_\epsilon(A)$ , donde

$$\mathcal H_\epsilon^s(A):=\inf\left\{\sum_{k=0}^\infty\operatorname{diam}(O_k)^s,\, \operatorname{diam}(O_k)\le \epsilon,\, A\subset\bigcup_{k=0}^\infty O_k,\, O_k\text{ is open}\right\}\tag2$$

Ahora podemos intentar aproximar el valor de $\mathcal H^s(A)$ desde arriba. Supongamos que estamos tratando de cubrir $A$ con cuadrados abiertos de diámetro $\gamma\sqrt 2/ 3^k$ Entonces, para un número suficiente de $\gamma>1$ parece fácil demostrar (por la estructura interna de $C\times C$ que se puede ver en su construcción) que la forma más eficiente de hacerlo es cubriendo $A$ como si estuviéramos cubriendo $A_k$ , por lo que necesitaremos $4^k$ de estas plazas. Lo mismo ocurre con todos los $k\in\Bbb N$ por lo que encontraremos que

$$\mathcal H^s(A)\le\lim_{k\to\infty} 4^k\left(\gamma\frac{\sqrt 2}{3^k}\right)^s,\quad\forall \gamma>1\tag3$$

donde la desigualdad proviene del hecho de que una cobertura de caja es menos eficiente que una cobertura de círculo utilizando el mismo diámetro para cuadrados y círculos (porque un cuadrado cubre menos área que un círculo con el mismo diámetro). De ahí que encontremos que $\mathcal H^s(A)\le(\sqrt 2)^s$ cuando elegimos $s:=\ln 4/\ln 3$ .

De todo esto veo que si mostramos que, para cada $\gamma_k\sqrt 2/3^k$ (para un número suficiente de $\gamma_k>1$ ), la cobertura de los círculos no puede ser mejor que la cobertura de las cajas, es decir que $\mathcal H^s_{\gamma_k\sqrt 2/3^k}(A)=4^k(\gamma_k\sqrt 2/3^k)^s$ entonces tendremos que $$\mathcal H^s(A)=\lim_{k\to\infty}\mathcal H^s_{\gamma_k\sqrt 2/3^k}(A)=(\sqrt 2)^s$$ para $s:=\ln 4/\ln 3$ .

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Sobre posibles referencias: No lo he leído pero, el libro de texto más completo que cubre estas cuestiones, parece ser por Geometría fractal de Falconer.