Anillo de coordenadas de un esquema en geometría algebraica functorial

Question

Voy a decir de antemano que soy nuevo en la geometría algebraica, pero tengo algo de experiencia con la teoría de categorías.

Estoy leyendo la introducción de los apuntes de Milne "Basic Theory of Affine Group Schemes". Él utiliza el punto de vista functorial aquí, así que estoy viendo un esquema afín sobre $K$ como un functor representable $X: K\mathsf{Alg} \to \mathsf{Sets}$ y un esquema se define igualmente como un functor que satisface las propiedades de encolado apropiadas. Podemos pensar en algún funtor general como un esquema generalizado.

En la sección I.3 tiene una subsección titulada "El anillo de coordenadas canónico de un grupo afín", pero me he dado cuenta de que su construcción parece definir un "anillo de coordenadas" canónico para todo tipo de "esquema generalizado", no sólo para los esquemas de grupos afines. En efecto, si $X: K\mathsf{Alg} \to \mathsf{Sets}$ es un functor entonces $\mathrm{Nat}(X, \mathbb{A}^1_K)$ es un $K$ -(con operaciones definidas puntualmente), ya que la línea afín sobre $K$ es el functor de olvido $\mathbb{A}^1_K: K\mathsf{Alg} \to \mathsf{Sets}$ .

Así que tenemos un functor $\mathsf{Sets}^{K\mathsf{Alg}} \to K\mathsf{Alg}$ definido por $X \mapsto \mathrm{Nat}(X, \mathbb{A}^1_K)$ .

Además, tenemos una evidente transformación natural $\alpha: X \to \mathrm{Spec_K}(\mathrm{Nat}(X, \mathbb{A}^1_K))$ , donde $\mathrm{Spec}_K$ aquí es sólo la incrustación contravariante de Yoneda (ya que estoy pensando en esquemas afines como funtores en lugar de espacios anillados). Esta transformación natural tiene componentes $\alpha_A: X(A) \to \mathrm{Hom}(\mathrm{Nat}(X, \mathbb{A}^1_K), A)$ dado por $x \mapsto (f \mapsto f_A(x))$ .

Mi pregunta es:

1. ¿Es razonable llamar a $\mathrm{Nat}(X, \mathbb{A}^1_K), A)$ el anillo de coordenadas para cualquier "esquema generalizado" dado por un functor $X: K\mathsf{Alg} \to \mathsf{Sets}$ ? Si no es así, ¿cómo deberíamos llamarlo?

2. ¿Es el functor $\mathsf{Sets}^{K\mathsf{Alg}} \to K\mathsf{Alg}$ cartografía $X$ a $\mathrm{Nat}(X, \mathbb{A}^1_K)$ adjunto (a la izquierda o a la derecha) a $\mathrm{Spec}_K: K\mathsf{Alg}^{\mathrm{opp}} \to \mathsf{Sets}^{K\mathsf{Alg}}$ ? Mi opinión es que es el adjunto izquierdo de $\mathrm{Spec}_K$ .

3. ¿Existe un nombre y una interpretación para esta transformación natural $\alpha_A: X(A) \to \mathrm{Hom}(\mathrm{Nat}(X, \mathbb{A}^1_K), A)$ ? Puedo ver que $X$ es un esquema afín sobre $K$ si y sólo si éste es un isomorfismo. Pero ¿qué pasa si $X$ no es afín? ¿Cómo lo interpretamos?

Answer 1

1. Sí.

2. Los opuestos me confunden sobre cuál de "izquierda" y "derecha" debo decir. Debería ser izquierda con la opción correcta de ops.

3. $\alpha$ merece llamarse "afinización". Es el mapa universal de un esquema o esquema generalizado a un esquema afín; es decir, es el adjunto izquierdo de la inclusión de esquemas afines en esquemas / esquemas generalizados. Como ejemplo sencillo, la afinización del espacio proyectivo es un punto.

Answer 2

1. Sí. ¡Pero ten cuidado! Hay un problema de tamaño. Siguiendo a Demazure-Gabriel (lo disfrutarás si eres partidario del enfoque functorial de la geometría algebraica), fijamos un universo $U$ de conjuntos pequeños y denotar la categoría de anillos pequeños por $M$ (modelos). También elegimos un universo $V\ni U$ y denotar la categoría de conjuntos en $V$ por $E$ (conjuntos). La categoría del functor $\mathrm{Func}(M,E)=:\mathrm{ME}$ se llama la categoría de $\mathbb{Z}$ -funcionarios. Para un general $X:M\to E$ el anillo de coordenadas $O(X):=\mathrm{ME}(X, \mathbb{A}^1)$ es grande y no pertenece a $M$ . La buena noticia es que para cualquier esquema $X$ (functor local con una pequeña cobertura abierta afín), nuestro anillo de coordenadas $O(X)$ es pequeño. La razón es que (i) para cualquier esquema afín $\mathrm{Sp}A:=M(A,-)$ el lema de Yoneda da $O(A)\simeq A\in M$ (ii) la línea afín es un esquema y la localidad (ver este puesto Obsérvese que la condición de la gavilla puede escribirse como $F(U)\simeq\lim F(U_i)$ para un diagrama bipartito adecuado) implica $\mathrm{ME}(X,\mathbb{A}^1)\simeq\varprojlim\mathrm{ME}(X_i,\mathbb{A}^1)=\varprojlim O(X_i)$ , donde $\{X_i\hookrightarrow X\}$ es una pequeña cobertura abierta afín de $X$ y $\varprojlim O(X_i)\in M$ , para $M$ está completo.

2. "Sí". Se cita por la misma razón: el tamaño importa. El isomorfismo $\mathrm{ME}(X, \mathrm{Sp}A)\simeq M^\mathrm{op}(O(X),A)$ funciona para todos $X\in \mathrm{ME}$ y $A\in M$ . Sin embargo, $O(X)$ podría ser demasiado grande. Se obtiene una adición cuando se restringe a la categoría de esquemas. Otro punto delicado viene de la ${}^\mathrm{op}$ operación. Solemos decir que tal par de adjuntos es adjunto mutuo a la derecha .

3. Existe un triángulo de adición en la geometría algebraica. Tenemos tres categorías: los modelos $M$ (anillos pequeños), la descripción functorial $\mathrm{ME}$ y la descripción geométrica $\mathrm{Esg}$ (espace géométrique, la categoría de los espacios localmente anillados, como se puede encontrar fácilmente en casi todos los demás libros sobre geometría algebraica) y existe un par de adyacencias entre dos de las tres categorías cualquiera. $\mathrm{Sp}(-)\dashv O(-)$ es uno de ellos. Los otros dos son $\mathrm{Spec}(-)\dashv \Gamma(-,O_-)$ (tomando el espectro afín / secciones globales) y $|\cdot|\dashv S$ (realización geométrica / functor de puntos $S(X):=\mathrm{Esg}(\mathrm{Spec}(-),X)$ ). Dos de ellos son localizaciones reflexivas , para $\mathrm{Sp}$ y $\mathrm{Spec}$ son totalmente fieles. Por lo tanto, la intuición de la localización reflexiva funciona aquí. El counit es siempre un isomorfismo y la unidad es la "-ficación" o blabla asociada. Por ejemplo, $\mathrm{Sh}(X)\hookrightarrow\mathrm{PSh}(X)$ es reflexivo y llamamos al adjunto izquierdo "sheafificación"/granero asociado y pensamos que la unidad es el mapa natural desde un presheaf a su sheafificación / el gajo asociado. Del mismo modo, su morfismo es el morfismo natural hacia la " esquematización afín " o esquema afín asociado.

Answer 3

"De hecho, si $X:KAlg→Sets$ es un functor entonces $Nat(X,\mathbb{A}^1_K)$ es un $K$ -No del todo, puede ser una clase propia (es decir, el "conjunto" subyacente puede no ser un conjunto).