Comprensión de derivadas covariantes iteradas para definir espacios de Sobolev en variedades

Question

Estoy teniendo grandes problemas de la comprensión de la definición de los espacios de Sobolev en los colectores.

Ok, así que tenemos una de Riemann colector $(M, g)$, y entonces podemos definir un natural de riemann medida (que voy a denotar por $\nu_g$)[yo no tener problemas de comprensión de este, que no se explica muy claramente en los libros de Sakai y Chavel] De esta manera, tenemos que $M$ es una medida de espacio (en el sentido usual de la palabra), así que es muy natural para definir los espacios de $L^p(M, g)$ como con cualquier otra medida de espacio.

Esto es muy fresco, y entonces uno podría preguntarse si Sobolev en espacios pueden ser definidos. De hecho, existen, y en la mayoría de los libros de la siguiente definición es generalmente dada:

Para $k\in \mathbb N$ e $1\leq p <\infty$, el espacio de Sobolev $W^{k,p}(M, g)$ es la culminación de $C^\infty(M)$ bajo la Sobolev norma $\|\cdot\|_{W^{k,p}(M, g)}$ dada por $$\|u\|_{W^{k,p}(M, g)} := \left( \,\sum_{j=0}^k \int_M |\nabla^j u |^p \, d\nu_g\right)^{\frac 1 p},$$ donde $\nabla^j u$ es el $j$-ésima derivada de $u$.

Así que, mi problema es: ¿qué se entiende exactamente por $\nabla^j u$ como "la $j$-ésima derivada de $u$"? Realmente no puedo dar un razonable sentido a esta. Por favor, dame un poco de conocimiento en este, quiero una formal y clara definición (parece que es obvio para la mayoría de los autores, pero no he visto una clara y explicación formal sobre esto), mi problema es que no entiendo en todo lo que se quiere decir con $\nabla^j$ (creo que se las puede definir general tensor de campos). Usted puede elaborar una respuesta detallada en la construcción de esa obra? Mi problema es entonces que no entiendo a afirmar covariante derivados (he preguntado a algunos de mis amigos, y ellos son tan confundido como yo) Y por favor, no quiero un físico desordenado definición implican verdadera y propia orgía de índices (si es posible)

Cualquier ayuda o clara referencia es muy apreciada. Un ejemplo elaborado sería muy útil también

Answer 1

Deje $(M,g)$ ser un colector de Riemann asociada con Levi-Civita de conexión de $\nabla$. Normalmente se introduce la derivada covariante en campos vectoriales, es decir, $\nabla:\Gamma(TM)\times\Gamma(TM)\to\Gamma(TM)$, $(X,Y)\mapsto\nabla_XY$ que satisface el Leibniz de la propiedad y algunas condiciones de linealidad. Cualquier conexión en $TM$ únicamente determina una conexión en cada tensor bundle $T^{(k,l)}M$. En particular, si $u\in C^\infty(M)$, luego $$\nabla u(X)=du(X)=X[u],$$ y en coordenadas tenemos que $$\nabla u=\frac{\partial u}{\partial x^j}dx^j,$$ y por lo tanto $$g(\nabla u,\nabla u)=g^{ij}\frac{\partial u}{\partial x^i}\frac{\partial u}{\partial x^j}.$$

Dado un $1$forma $\omega\in T^{(0,1)}M$, ya que nuestra conexión se ha generalizado, tenemos que $\nabla\omega\in T^{(0,2)}M$, y en las coordenadas $$(\nabla\omega)_{ij}=\frac{\partial\omega_i}{\partial x^j}-\Gamma_{ij}^k\omega_k,$$ y así $$g(\nabla\omega,\nabla\omega)=g^{ij}g^{lm}(\nabla\omega)_{il}(\nabla\omega)_{jm}.$$ Dejando $\omega=\nabla u$, vemos que $$(\nabla^2u)_{ij}=\frac{\partial ^2u}{\partial x^j\partial x^i}-\Gamma_{ij}^k\frac{\partial u}{\partial x^k}.$$

Vamos a hacer esto una vez más: Dado un $(0,2)$-tensor $\omega\in T^{(0,2)}M$, $\nabla\omega\in T^{(0,3)}M$, y $$(\nabla\omega)_{ijk}=\frac{\partial\omega_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ij}^l\omega_{lk}-\Gamma_{ij}^m\omega_{km}.$$ Entonces $$g(\nabla\omega,\nabla\omega)=g^{i_1j_1}g^{i_2j_2}g^{i_3j_3}(\nabla\omega)_{i_1i_2i_3}(\nabla\omega)_{j_1j_2j_3}.$$ Dejando $\omega=\nabla^2u$, vemos que $$(\nabla^3 u)_{ijk}=\frac{\partial^3u}{\partial x^k\partial x^j\partial x^i}-\Gamma_{ij}^l\frac{\partial^2u}{\partial x^l\partial x^k}-\Gamma_{ij}^m\frac{\partial^2u}{\partial x^k\partial x^m}.$$

Creo que la continuación de la generalización arbitraria $(k,l)$-tensor de campos debe ser claro desde aquí. Esperemos que esto ayudó a cualquier tipo de confusión.

Editar: Para otra exposición del material, cf. Emmanuel Hebby del texto "Sobolev en Espacios de Riemann Colectores".