La preservación de la intermediación implica monotónica?

Question

Para esta pregunta, podemos asumir que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Sin embargo, tengo la esperanza de que una respuesta se puede generalizar arbitraria de conjuntos ordenados linealmente.

Supongo que todo el mundo sabe a lo que me refiero, $f$ siendo débilmente en aumento, débilmente disminuyendo, o monótona. Sin embargo, ahora, permítanme presentarles una idea diferente:

Permítanme decir que para los tres números reales $x$, $y$, e $z$ que $y$ se encuentra entre $x$ e $z$ si cualquiera de las desigualdades compuestas por debajo de mantener $$x\leq y\leq z\quad\text{or}\quad z\leq y\leq x\,.$$

Permítanme decir también que $f$ conserva intermediación si siempre $y$ se encuentra entre $x$ e $z$ entonces $f(y)$ se encuentra entre $f(x)$ e $f(z)$.

Por supuesto, una forma monotónica conserva intermediación.

Pero la pregunta es:

Si una función conserva intermediación es necesario monótona? I. e., debe ser débilmente aumentando o débilmente disminuyendo?

Parece como debe ser, pero entonces recuerdo Darboux funciones y convertirse en atreven a saltar a esta conclusión. Si un tipo de entre-la preservación de la no-monotónica función existe, que sería una especie de extraño.

Es evidente que no se puede tener cualquier estricto extremos locales. También, si tiene un extremo local en $x$, entonces no va a ser $a$ e $b$ tal que $a<x<b$ donde $f$ es constante en cualquiera de las $(a,x]$ o $[x,b)$ o ambos. Sin embargo, otras propiedades que se investiga parecen requerir un intratable número de análisis de casos.

Me recuerda a una espantosa funciones como aquellos que satisfacen las Cauchy funcional de la ecuación, pero no son continuas en cualquier lugar. Pero esas funciones son ilimitados en cada intervalo.

Answer 1

Sí, intermediación-la preservación implica monótona.

Supongamos $f$ no es monótona, entonces no existir $a<b$, $f(a)<f(b)$, y también se $c<d$, $f(c)>f(d)$. Tomamos nota de que $f$ todavía no monotónica en $F:=\{a,b,c,d\}\subset\mathbb R$. Vamos a escribir $F$ como $F=\{a_1<a_2<\dots<a_k\}$ donde claramente $k\in\{3, 4\}$.

Elija $i$ mínimo tal que $f(a_i)\ne f(a_{i+1})$.

Caso 1: $f(a_i)<f(a_{i+1})$. Debe de ser $j\ge i+1$ con $f(a_j)>f(a_{j+1})$o más $f$ es levemente creciente en $F$. Entonces, por la mínima, tales $j$ estamos: $f(a_i)<f(a_j)>f(a_{j+1})$ e $f(a_j)$ no está entre los $f(a_i)$ e $f(a_{j+1})$, lo $f$ no es intermediación-preservación.

Caso 2 es el mismo.

Answer 2

Supongamos que f no es monótona. A continuación, $\exists x, k$ s.t. $x < k$ e $f(x) < f(k)$ e $\exists x_0, k_0$ s.t. $x_0 < k_0$ e $f(x_0) > f(k_0)$.

WLOG, vamos a $k < x_0$. Entonces tenemos una contradicción en $f$ la preservación de acotamiento, porque o $f(k)$ o $f(x_0)$ no se encuentran entre $f(x)$ e $f(k_0)$.