Encuentre $\lim_{n\to\infty} \cos(\frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{8})\ldots \cos(\frac{\pi}{2^n}) $

Question

Ya sé que $$ a_n = \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) = \overbrace{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots + \sqrt{2}}}}{2}}^{n\text{ roots}}$$ También sé que $$\lim_{n\to\infty} 2\cos\left(\frac{\pi}{2^n}\right) = 2 \text{ and if } a_n \xrightarrow {n\to\infty} a \text{ then } \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \xrightarrow{n\to\infty} a $$

Con ese método sólo obtuve la forma indeterminada

$$ \lim_{n\to\infty} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\ldots \cos\left(\frac{\pi}{2^n}\right) = \Big(\frac{\sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}}{2}\Big)^n = 1^\infty $$ ¿Alguien conoce una solución que funcione?

Answer 1

Si $x_n=\cos(\frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{8})\ldots \cos(\frac{\pi}{2^n}) $ entonces $\ $ $$x_n\sin (\frac{\pi}{2^n})= \cos(\frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{8}) \ldots \cos(\frac{\pi}{2^n}) \sin (\frac{\pi}{2^n}) $$ $$=\frac{1}{2^1} \cos(\frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{8}) \ldots \cos(\frac{\pi}{2^{n-1}}) \sin (\frac{\pi}{2^{n-1}}) $$ $$ =\ldots= \frac{1}{2^{n-1}} $$ Así que $$x_n=\frac{1}{2^{n-1}\sin (\frac{\pi}{2^n})} $$ Así que $\lim_{n\to \infty }x_n=\frac{2}{\pi} $

Answer 2

$$\sin(x)=2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})=2\cos(\frac{x}{2})2\sin(\frac{x}{4})\cos(\frac{x}{4})$$ Mediante la aplicación repetida de la fórmula del medio ángulo encontramos $$\sin(x)=\lim_{n\to\infty}2^n\sin(\frac{x}{2^n})\prod_{k=1}^{n}\cos(\frac{x}{2^{k}})$$ Al ampliar $\sin(\frac{x}{2^n})$ en su serie de taylor podemos derivar fácilmente

$$ \sin(x)=x\prod_{k=1}^{\infty} \cos(\frac{x}{2^k})$$

Así que $$\prod_{k=2}^{\infty}\cos(\frac{\pi}{2^k})=\lim_{x\to\pi}\frac{\sin(x)}{x\cos(\frac{x}{2})}=\lim_{x\to\pi}\frac{2\sin(\frac{x}{2})}{x}=\frac{2}{\pi}$$

Ver también La fórmula de Viete

Answer 3

Lo que intentas probar es la fórmula de Viete. Lo que hizo fue tratar de comparar áreas de polígonos regulares que están inscritos en un círculo unitario. El área de un polígono regular con $n$ lados viene dado por

$$ A_n = \frac12 n \sin\left(\frac\pi n\right)$$

Si ahora se calcula la relación entre dos polígonos regulares, uno con $2^n$ lados, y uno con $2^{n-1}$ lados, entonces se obtiene:

$$B_n=\frac{A_{2^{n-1}}}{A_{2^n}} = \frac{2^{n-1} \sin\left(\frac{\pi}{2^{n-1}}\right)}{2^{n} \sin\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)} = \cos\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)$$

Esto implica ahora que el producto que el OP intenta calcular es igual a

$$C_n=B_3 B_4 ... B_n = \frac{A_4}{A_8}\cdot\frac{A_8}{A_{16}}\cdot\cdots\cdot\frac{A_{2^{n-1}}}{A_{2^n}}=\frac{A_4}{A_{2^n}}$$

Si un polígono regular con una cantidad infinita de lados es equivalente a un círculo, se tiene $$\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=\pi$$ . En esencia, el producto completo no es más que comparar el tamaño de un círculo con respecto a su cuadrado inscrito. Por lo tanto,

$$\prod_{n=2}^\infty\cos\left(\frac{\pi}{2^n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}C_n=\frac 2 \pi$$