En $\int_0^\infty\frac{\ln(1+x)}{x(1+x^n)}dx$ ¿tiene una forma general?

Question

En $$I_n=\int_0^\infty\frac{\ln(1+x)}{x(1+x^n)}dx$$ ¿tiene una forma general?

Intenté evaluar algunas pequeñas $n$ s.
Para $n=1$ , $I_1$ es obviamente $\frac16\pi^2$ .
Para $n=2$ , ver aquí . $I_2=\frac5{48}\pi^2$ .
Para $n=3$ Lo puse en Mathematica y obtener $$\small{\frac{1}{108} \left(9 \left(4 \left(\text{Li}_2\left(\frac{\sqrt[6]{-1}}{\sqrt{3}}\right)+\text{Li}_2\left(-\frac{(-1)^{5/6}}{\sqrt{3}}\right)\right)+\log ^2(3)\right)+5 \pi ^2\right)}$$ Utilice el resultado $$\Re\operatorname{Li}_2\left(\frac{1+ti}2\right)=\frac1{12}\pi^2-\frac12\arctan^2t-\frac18\ln^2\frac{1+t^2}4,$$ Soy capaz de mostrar $I_3=\frac5{54}\pi^2$ .
Para $n=4$ , he encontrado numéricamente $I_4=\frac{17}{192}\pi^2$ .
No soy capaz de encontrar la forma general con $n\in \mathbb{Z}^+$ .

Answer 1

$$\begin{aligned} I_n &= \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x(1+x^n)}dx + \int_1^\infty \frac{\ln(1+x)}{x(1+x^n)}dx \\ &= \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x(1+x^n)}dx + \int_0^1 \frac{x^n \ln(1+x)}{x(1+x^n)}dx - \int_0^1 \frac{x^{n-1} \ln x}{1+x^n}dx \\ &= \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}dx + \frac{1}{n}\int_0^1 \frac{\ln(1+x^n)}{x}dx \\ &= \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}dx+\frac{1}{n^2}\int_0^1 \frac{\ln(1+u)}{u}du = \color{blue}{(1+\frac{1}{n^2})\frac{\pi^2}{12}} \end{aligned}$$

• Segunda línea: $x\mapsto 1/x$
• Tercera línea: Integración por partes
• Cuarta línea: $x=u^{1/n}$

Tenga en cuenta que $n$ no necesita ser un número entero.