Pregunta dada:
Si un polinomio deja un resto de $5$ cuando se divide por $x 3$ y un resto de $7$ cuando se divide por $x + 1$ , cuál es el resto cuando el polinomio se divide por $x^2 2x 3$ ?
Solución:
Observamos que cuando dividimos por un polinomio de segundo grado el resto será generalmente lineal. Así, el enunciado de la división se convierte en $p(x) = (x^2 2x 3)q(x) + ax + b $
¿Puede alguien explicarlo a nivel de PRE-CÁLCULO? Gracias
Porque por definición el cociente y el resto de la división de un polinomio $p_1(x)$ por un polinomio $p_2(x)$ son polinomios $q(x)$ (el cociente) y $r(x)$ (el resto) tal que
En particular , si $p_2(x)$ es un polinomio cuadrático, entonces el grado de $r(x)$ será como máximo $1$ .
@Solomonoff'sSecret: ¿Cómo esta respuesta asume que $q$ (No creo que haya querido decir $p_2$ ) y $r$ ¿Existe?
Aunque la respuesta de José Carlos Santos es correcta, creo que podría ser útil hablar de por qué $r(x)$ se define para tener un grado menor que $p_2(x)$ . (J.G. lo explica, pero a un nivel más alto de lo que sospecho que seguiría alguien que quiera hacer "precálculo").
Si el grado de $r(x)$ es del mismo tamaño o mayor que $p_2(x)$ , entonces se puede restar un múltiplo de $p_2(x)$ de $r(x)$ para obtener un nuevo resto de menor grado. Es decir, podemos continuar el proceso de división hasta $r(x)$ es de menor grado que $p_2(x)$ . Sólo entonces hay que detenerse y llamar a todo lo que sobra el resto.
Por ejemplo, dividiendo $3x^3 - 2x^2 + x - 5$ por $x^2 + 1$ sigue estos pasos:
Combinando los resultados de los pasos 2 y 4: $$\begin{align}3x^3 - 2x^2 + x - 5 &= (3x)(x^2 + 1) + (-2)(x^2 + 1) + (-2x-3)\\&=(3x - 2)(x^2 + 1) + (-2x-3)\end{align}$$
Si se detiene en el paso 2, entonces $r(x)$ no es lineal. Pero en esa etapa, podríamos continuar la división para obtener algo más pequeño. Sólo cuando el resto era de menor grado teníamos que parar.
No soy americano, pero por lo que he leído la precalc incluye la inducción. ¿Fue mi uso de la aritmética del módulo el problema de comprensión?
@J.G. - Es cierto que tanto la inducción como la aritmética modular se enseñan antes del cálculo, pero no a todo el mundo, y muchos de los que las han aprendido nunca las han dominado realmente. Tomé la petición de "pre-cálculo" no como un nivel específico a cumplir, sino más bien para significar que el OP quería una explicación lo más simple posible. Como es una pregunta de álgebra, y la explicación sólo requiere álgebra simple, eso es lo que di. "Dominar lo mínimo" es una máxima de enseñanza que se aplica aquí, en mi opinión.
La cuestión es que podemos demostrarlo. Sea la cuadrática $q:=ax^2+bx+c$ . Módulo de trabajo $q$ , $x^2=-(bx+c)/a$ . Cada $x^n$ es entonces de la forma $cx+d$ modulo $q$ ; se puede demostrar esto por inducción (incluso se pueden obtener relaciones de recursión sobre los coeficientes). Por ejemplo, $x^3=-(bx^2+cx)/a$ pero entonces podemos sustituir $x^2$ como en el caso anterior.
Para PROBAR hay que tener un polinomio de grado n, no un cuadrático. Pero funciona exactamente así. así que es a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + .. + a_0, etc.
Una explicación más que una prueba completa. Intentando describirlo de forma más sencilla:
Suponga que su primer polinomio es $$P=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$ y quieres dividirlo por $$Q=fx^2+gx+h$$
El primer paso es multiplicar $Q$ por algo que convertirá su primer término en $ax^4$ . Ahora tienes un polinomio que, al restarlo de $P$ , hará que $ax^4$ desaparecer.
Luego se vuelve a hacer lo mismo, excepto que se arregla el $x^3$ término a desaparecer.
Ahora tienes dos cuadráticas: lo que queda de $P$ y $Q$ .
Por lo tanto, multiplica $Q$ por una constante adecuada para que el $x^2$ términos coinciden, y lo restan. Ahora todo lo que queda es un múltiplo de $x$ y una constante, ya que te has deshecho de todos los términos de orden superior, y ese es tu resto lineal.
Simplemente explicando: la IDEA clave es que no se termina de dividir hasta que el resto no es divisible por el divisor. La PALABRA clave en tu mensaje es "GENERALMENTE", porque la conclusión no es firme y rápida, simplemente es "normalmente" así.
Primero IDEA. Considere números simples, tal vez dividiendo $1\,034$ por $10$ . Empiezas por la izquierda y trabajas hacia la derecha (esto se enseña en primer grado, por supuesto, así que no voy a alargar el proceso) hasta que no puedas continuar de forma útil. Así que se obtiene $100~R~34$ y $3~R~4$ y se detiene cuando queda un resto ( $4$ ) menos que su divisor, $10$ . Es bastante fácil saber cuándo es "menos que" con los números, pero un poco menos con los polinomios. Pero con los polinomios lo vemos de forma ligeramente diferente: nos detenemos cuando el orden del resto es menor que el orden del divisor. Así que al dividir por $7x^2$ y teniendo un remanente con sólo $x^2$ Normalmente apretamos los dientes (amamos nuestros números enteros ) y utilizamos $1/7$ eliminando el resto $2$ nd término de orden ( $x^2$ ). En ese momento, continuar se vuelve difícil incluso con los dientes apretados.
Y así nos detenemos. Obsérvese que no es que el resto sea ahora lineal con lo que es especial de alguna manera: simplemente es de menor orden que el divisor. En el caso de dividir por un $2$ nd de orden polinómico, lo que significa que es $1$ st o simplemente una constante (número).
Lo que lleva a la parte "generalmente": en la práctica, PODRÍA ser sólo la constante, y no una ecuación lineal. $x^2 + 8$ dividido por $x^2$ por ejemplo. Pero no por lo general. De ahí el "generalmente" en la afirmación de tu post. Y subiendo en el orden, digamos un divisor de quinto orden, aunque normalmente se espera, sólo por probabilidad, un resto de cuarto orden, también podría ser un resto de tercer, segundo o primer orden, o simplemente una constante.
Así que no se trata de un gran teorema con una prueba impresionante, sino de una observación práctica basada en la mecánica que utilizamos para la división.
(Y añade un "control de idiotas" en caso de que uno se detenga antes de tiempo, pensando que ha terminado. "Espera, no puede ser, debería ser lineal y no lo es, así que tal vez tenga que seguir trabajando ")
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Compárese con la división larga con números enteros: si se divide por $10$ , digamos, entonces el resto será menor que $10$ . ¿Por qué? Porque si no, es que has dejado de dividir demasiado pronto.