Mostrar que existen $[a,b]\subset [0,1]$, que $\int_{a}^{b}f(x)dx$ = $\int_{a}^{b}g(x)dx$ = $\frac{1}{2}$

Question

Deje $f(x)$ e $g(x)$ dos funciones continuas en $[0,1]$y $$\int_{0}^{1}f(x) dx= \int_{0}^{1}g(x)dx = 1$$

Demuestran que existen $[a,b]\subset [0,1]$, de tal manera que $$\int_{a}^{b}f(x) dx= \int_{a}^{b}g(x)dx = \frac{1}{2} $$

La cuestión puede resolverse teniendo en cuenta el grupo fundamental de la $S^1$, ahora me estoy preguntando si podemos resolverlo por real análisis.

Aquí está la solución topológica:

Supongamos que para cualquier $[a,b]\subset[0,1]$, siempre tenemos $$(\int_{a}^{b}f(x) dx\neq \frac{1}{2}) \quad \vee \quad(\int_{a}^{b}g(x)dx \neq \frac{1}{2}) $$ Considerar la asignación de $$\phi:D\rightarrow\mathbb{E}^2\backslash\{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\},\,\,(x,y)\mapsto(\int_{y}^{x}f(t) dt,\int_{y}^{x}g(t) dt)$$ donde $D=\{(x,y)|0\leq x\leq y\leq 1\}$.

Deje $a$ ser camino de $(0,0)$ a $(0,1) $en $D$ e $b$ ser camino de $(0,1)$ a $(1,1) $en $D$, a continuación, $ab$ es un camino de $(0,0)$ a $(1,1) $en $D$y $$\phi\circ (ab):[0,1]\rightarrow\mathbb{E}^2\backslash\{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\} $$ Observe que $$(\phi\circ (ab))(0)=(\phi\circ (ab))(1)=(0,0)$$

por lo $\phi\circ (ab)$ es un bucle basado en $(0,0)$ en $\mathbb{E}^2\backslash\{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\}$.

Para cualquier $t\in [0,\frac{1}{2}]$, no es difícil conseguir que $$(\phi\circ (ab))(t+\frac{1}{2})=(1,1)-(\phi\circ (ab))(t)$$ es equivalente a $$(\phi\circ (ab))(t+\frac{1}{2})-(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=-((\phi\circ (ab))(t)-(\frac{1}{2},\frac{1}{2}))$$

Definir la retracción $$r:\mathbb{E}^2\backslash\{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\}\rightarrow S^1,\quad (x,y)\rightarrow\ \frac{(x,y)-(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}{||(x,y)-(\frac{1}{2},\frac{1}{2})||}$$

A continuación, $r\circ \phi\circ (ab)$ es un bucle en $S^1$, de tal manera que $$(r\circ \phi\circ (ab))(t+\frac{1}{2})=-(r\circ \phi\circ (ab))(t),\quad\forall t\in [0,\frac{1}{2}]$$

Por lo $<r\circ \phi\circ (ab)>$ no es trivial en $\pi_1(S^1)$.

Sin embargo, $ab$ es el camino homotópica a $c$ en $D$, donde $c$ es la ruta de acceso entre $(0,0)$ e $(1,1)$ en $D$. En este caso, $r\circ \phi\circ (ab)$ es un punto de la ruta en $S^1$por $$(\phi\circ c)(t)=\phi(t,t)\equiv (0,0)$$

lo que conduce a contradicción.

Answer 1

Aquí es una prueba para el caso de $f > 0$.

Deje $A$satisfacer $$ \int_0^A f(x) \, dx = \frac{1}{2}. $$ Para cada $a \leq A$, existe un punto mínimo $\beta(a) > a$ tales que $$ \int_a^{\beta(un)} f(x) \, dx = \frac{1}{2}. $$ Tenga en cuenta que $\beta(0) = A$ e $\beta(A) = 1$.

Definir $$ G(a) = \int_a^{\beta(un)} g(x) \, dx, $$ y aviso que $$ G(0) + G(A) = \int_0^g(x) \, dx + \int_A^1 g(x) \, dx = \int_0^1 g(x) \, dx = 1. $$ Por lo tanto, $G(0) \geq 1/2 \geq G(A)$ o $G(0) \leq 1/2 \leq G(A)$. De cualquier manera, desde $G$ es continua, debe existir un punto de $a \leq A$ tal que $G(a) = 1/2$. Tomando $b = \beta(a)$, obtenemos $$ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b g(x) \, dx = \frac{1}{2}. $$

Answer 2

Desde mis matemáticas son un poco pasado de moda, lo mejor de mí. Siéntase libre de corregir y/o criticar.

Imaginar las dos funciones siguientes:

$$F(a,b)=\int_a^b f(x)\,\textrm{d}x$$

y

$$G(a,b)=\int_a^b g(x)\,\textrm{d}x$$

de que sabemos que $F(0,1)=G(0,1)=1$ e $F(x,x)=G(x,x)=0$ y tanto $F(x,y)$ e $G(x,y)$ son continuamente desde $f(x)$ e $g(x)$ son continuamente.

Sabemos que las siguientes:

1. Existe un conjunto $\{\alpha_1 < \ldots < \alpha_n\}$ tal que $F(0,\alpha_i)=1/2$ e $n$ es un número impar
2. También sabemos que $F(\alpha_i,1)=1/2$ como $F(0,1)=F(0,\alpha_i)+F(\alpha_i,1)=1$
3. Sabemos que $F(\alpha_1,\alpha_n)=0$
4. Debido a la continuidad de la $F(x,y)$, sabemos que debe existir al menos uno de contorno $\mathcal{C}_f:=F(x,y)=1/2$ que conecta los puntos de $F(0,\alpha_i)$ con $F(\alpha_j,1)$.

Lo mismo vale para los $G(x,y)$ con un conjunto $\{\beta_1 < \ldots < \beta_m\}$.

Suponga $n=m=1$ con $\alpha_1<\beta_1$: es evidente que tanto las líneas de contorno $\mathcal{C}_f$ e $\mathcal{C}_g$ debe intersectar como $0<1-\beta_1<1-\alpha_1$ (para $F(0,\alpha)$ e $G(0,\beta)$) y $0<\alpha_1<\beta_1$ (para $F(\alpha,1)$ e $F(\beta,1)$).

Suponga $n\ne m\ne1$: Todavía necesita para pensar acerca de esto ...