Prueba de que$f$ es inyectivo iff$\bigcap_{i\in I} f(A_i) = f( \bigcap_{i \in I} A_i)$ por cada$(A_i)_{i\in I}$

Question

Creo que tengo una prueba por contradicción de la siguiente resultado, pero no estoy seguro acerca de.

Mostrar que $f$ es inyectiva iff $\bigcap_{i\in I} f(A_i) = f( \bigcap_{i \in I} A_i)$ por cada $(A_i)_{i\in I}$.

Este es mi primer contacto real con la teoría matemática, y siempre ha sido mi mayor brecha de conocimiento como mi campo de estudio(la física) se basa principalmente en la aplicación de las matemáticas a más de realmente entender, así que puedo decir que ha sido bastante duro el primer contacto...

Mi intento es como sigue: Suponiendo que f(x) no es inyectiva, entonces, $ \exists x \land x' \in X; x \neq x'; f(x) = f(x')$ Tomando $x \in \bigcap_{i \in I}A_i \land x' \in A_i$, pero, $x' \notin \bigcap_{i \in I}A_i \Rightarrow f(x) \in f(\bigcap_{i \in I}A_i) \land f(x') \notin f(\bigcap_{i \in I}A_i)$ $f(x) = f(x')$. Por lo tanto, ser una contradicción!

Answer 1

En su solución, no está claro cómo usted puede elegir su $\bigcap_{i\in I} A_i$. Aquí están algunas sugerencias;

Sugerencia 1: Suponga que $f:X \to Y$ no es inyectiva. Entonces, como usted ha señalado correctamente, $\exists x_1,x_2 \in X$ tal que $x_1 \neq x_2$$f(x_1) = f(x_2)$. Deje $A_1 = \{x_1\}$ y deje $A_2 = \{x_2\}$. A continuación,$f(A_1 \cap A_2) = f(\emptyset) = \emptyset$. Sin embargo, ¿qué es $f(A_1) \cap f(A_2)$?

Sugerencia 2: Suponga que $f:X \to Y$ es inyectiva. Queremos mostrar que $\bigcap_{i \in I} f(A_i) = f(\bigcap_{i\in I}A_i)$.

Paso 1. En primer lugar mostramos que $\bigcap_{i \in I} f(A_i) \subseteq f(\bigcap_{i\in I}A_i)$. Deje $b \in \bigcap_{i \in I} f(A_i)$. Entonces, sabemos que hay un $c \in X$ tal que $f(c) = b$. Por inyectividad (por qué?), $c \in \bigcap_{i \in I} A_i$. A continuación, $f(c) \in f(\bigcap_{i \in I} A_i)$ y esto implica que $b \in f(\bigcap_{i \in I} A_i)$.

Paso 2. Ahora, nos muestran la otra inclusión. Deje $b \in f(\bigcap_{i \in I}A_i)$. Es hasta usted para mostrar que $b \in f(\bigcap_{i \in I} A_i)$. Esta es la dirección fácil.

Answer 2

"Mostrar que f(x) es inyectiva $\Leftrightarrow \bigcap_{i _\in I} (f(A_i)) = f( \bigcap_{i \in I} A_i)$"

Primero ver que siempre tenemos los siguientes

$$ \bigcap_{i \in I} A_i\subset A_i~~~\forall ~i \implies f( \bigcap_{i \in I} A_i)\subset \bigcap_{i _\in I} (f(A_i)) $$

así el problema se reduce a

f(x) es inyectiva $\Leftrightarrow \bigcap_{i _\in I} (f(A_i)) \subset f( \bigcap_{i \in I} A_i)$

Que a su vez puede reducir a la siguiente f(x) es inyectiva $\Leftrightarrow f(A) \cap f(B) \subset f( A\cap B).$" Donde a y B pueden ser reemplazados por $A_i$ $A_j$ respectivamente.

Ahora vamos a probar nuestra última reclamación.

Suponga que f(x) es inyectiva

A continuación, vamos a $z\in(A) \cap f(B) $ i.e$\{z\in f(A) \implies \exists a\in A :f(a) = z \}$$\{z\in f(B) \implies \exists b\in B :f(b) = z \}$$f(a) = z= f(b)$. Pero $f$ es inyectiva entonces tenemos $a=b \in A \cap B $ por lo tanto $z=f(a)= f(b)\in $z\in f(A\cap B) $. hence, $f(A) \cap f(B) \subconjunto f( A\cap B).$

Por El Contrario, Asumen $f(A) \cap f(B) \subset f( A\cap B).$ vamos a probar que f es inyectiva. Deje $a$ $b$ apuesta de dos elementos en el dominio de $f$ tal que $f(a)=f(b)$. Hemos creado $$A =\{a\}\qquad\land\qquad B=\{b\}$$ por Asumption, tenemos,

$$\{f(a)=f(b)\}=f(\{a\}) \cap f(\{b\}) \subset f( \{a\}\cap \{b\}).$$ pero $$\{a\}\cap \{b\}= \begin{cases}\{a=b\}& if~~ a=b \\ ∅ &if ~~a\neq b\end{cases}$$

La única opción que tenemos es $a=b$ desde $f(a) = f(b)\inf( \{a\}\cap \{b\}) $ $f( \{a\}\cap \{b\})$ es un conjunto no vacío y sabemos que $f($∅$) =$∅ $\therefore f$ es una aplicación inyectiva.