Significado de multiplicar $-1$ $-1$

Question

Tal vez esta es una pregunta extraña pero me ha estado molestando.

En la niñez nos enseñaron que $4 \times 3$ significa $4+4+4$ es decir, agregar 4, 3 veces.

Mi pregunta es entonces ¿cómo explicarías $-1 \times -1$ con algún tipo de lógica matemática?
Quiero saber el significado en la vida real.

No tiene un significado cuando digo agregar $-1$, $-1$ veces.

Answer 1

Mírelo de esta manera,

$3 \times 4$ , se han definido un crédito de $3$ y aumento de 4 veces mayor que el de crédito:

$$(+3+3+3+3) = (+12)$$

$3 \times -4$ , que aquí se han definido crédito, pero perder 4 veces la cantidad del crédito:

$$(-3-3-3-3) = (-12)$$

$-3 \times 4$ , tiene una deuda de $-3$ y aumento de 4 veces la cantidad de la deuda que la deuda:

$$[+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)] = (-3-3-3-3) = (-12)$$

$-3 \times -4$ , definir una deuda de $-3$ y perder 4 veces la de la deuda, lo que significa que la ganancia de crédito por la pérdida de la deuda:

$$[-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)] = (+3+3+3+3) = (+12)$$

Aquí es un bonito video sobre este tema: https://www.youtube.com/watch?v=ij-EK-MZv2Q

A las 11:38 explica lo mismo que he escrito.

Answer 2

También podemos razón de el anillo de los axiomas. No es tan intuitivo, pero este es el motivo principal por el que $-1\cdot -1=1$, así que me siento como la integridad de' amor, que debe ser incluida. Vamos rápidamente a hacer un par de lema del que se desprende:

Lema. Tenemos $-(-a)=a$.

Prueba. Sabemos $$\begin{align} a&=a+0\\ &=a+((-a)+-(-a))\\ &=(a+(-a))+-(-a)\\ &=0+-(-a)\\ &=-(-a) \end{align}$$

Otro lexema. Tenemos $0\cdot a=0$.

Prueba. Sabemos $$\begin{align} a\cdot 0&=a\cdot 0+0\\ &=a\cdot 0+((a\cdot0+-(a\cdot 0))\\ &=((a\cdot 0)+(a\cdot0))+-(a\cdot 0)\\ &=a\cdot(0+0)+-(a\cdot 0)\\ &=a\cdot0+-(a\cdot 0)\\ &=0 \end{align}$$ (Esta prueba también puede ser ajustado para tener $a\cdot0=0=0\cdot a$ en no-conmutativa de los anillos)

Última lema. Tenemos $-a=a\cdot -1$.

Prueba. Sabemos $$\begin{align} -a&=-a+0\\ &=-a+(a\cdot 0)\\ &=-a+(a\cdot (1+-1))\\ &=-a+((a\cdot1)+(a\cdot-1))\\ &=(-a+(a\cdot1))+(a\cdot-1)\\ &=(-a+a)+(a\cdot-1)\\ &=0+(a\cdot-1)\\ &=a\cdot-1 \end{align}$$ Ahora lo que sigue es que $-1\cdot -1=-(-1)=1$.

Answer 3

A menudo he visto esta prueba/explicación $$\bigg(ab + (-a)b\bigg) + (-a)(-b) = \bigg(ab + (-a)b\bigg) + (-a)(-b)$ $$$ \bigg(ab + (-a)b\bigg) + (-a)(-b) = ab + \bigg((-a)b + (-a)(-b)\bigg) $$\bigg(a+(-a)\bigg)b+(-a)(-b) =ab +\bigg(b+(-b)\bigg)(-a)$ $$$ 0b+(-a)(-b) =ab +0(-a) $$0+(-a)(-b) =ab +0$ $$$ (-a)(-b) =ab

Answer 4

Es una pregunta muy interesante, y mucho más profundo de lo que parece ser cuando se produce en una no-conmutativa de configuración. Pero volvamos a los niños. Una posible forma de justificar el producto por $-1$ es confiar en la distributividad. Realmente, decir que $4 \times 3$ $4 + 4 + 4$ equivale a definir $3$ $1 + 1 + 1$ y, a continuación, utilizar $$4 \times (1 + 1 + 1) = (4 \veces 1) + (4 \1) + (4 \1).$$ Luego, por supuesto, también se necesita $4 \times 1 = 4$ a justificar plenamente este enfoque. Ahora, supongamos que usted quiere dar un sentido a la $4 \times (-2)$, mientras que el mantenimiento de la distributividad. Se puede observar que la $$(4 \times 2) + (4 \times (-2)) = 4 \times (2 + (-2)) = 4 \los tiempos 0 = 0.$$ De nuevo, uno necesita saber que $4 \times 0 = 0$, pero los niños deben comprar de manera fácil. De todos modos, ahora, la única posibilidad es tener $4 \times (-2) = - (4 \times 2)$. Último paso, $(-4) \times (-2)$. Que requieren la distributividad de las fuerzas de la igualdad $$((-4) \times (-2)) + 4 \times (-2) = (4 + (-4)) \veces (-2) = 0 \times (-2) = - (0 \times 2) = - 0 = 0$$ Y por último, sí, $(-1) \times (-1) = 1$ !

Answer 5

En el siglo XVIII, un científico destacado, matemático e ingeniero Leonhard Euler explican generalmente multiplicando números negativos como este. Claramente, no se puede igual $-5 \cdot 4 =-20.$ $-5 \cdot (-4)$ por lo tanto, el producto $-20$, pero el producto tiene que estar relacionado de alguna manera con el número $20$. Existe sólo una posibilidad: $-5 \cdot (-4)= 20$

Por lo tanto $-1 \cdot (-1)=1$