Una variante del problema de Monty Hall

Question

Todo el mundo conoce el famoso Monty Hall problema; demasiado tinta se ha derramado sobre él ya. Tomemos esto como un hecho y considerar la siguiente variante del problema que pensé esta mañana.

Supongamos Monty tiene tres manzanas. Dos de ellos tienen gusanos en ellos, y el otro no. (Para los fines de este problema, vamos a suponer que encontrar un gusano en tu manzana es un indeseable resultado). Él da tres "concursantes" una manzana cada uno, entonces elige uno que sabe que tiene un gusano en su manzana y le instruye a morder. El pobre concursante lo hace, se encuentra (la mitad) de un gusano en ella, y se ejecuta fuera del escenario, en el asco.

Ahora considere las situaciones de los dos concursantes restantes. Cada uno tiene un clásico de los Monty Hall problema de frente a él. De jugador Una perspectiva, una "puerta" que ha sido "abierto" y reveló que tiene una "cabra"; usando la misma lógica que antes, él debe elegir para cambiar las manzanas con el jugador B.

La paradoja es que el jugador B puede usar la misma lógica a la conclusión de que debe cambiar las manzanas con el jugador de la A. por lo Tanto, cada uno de los dos concursantes restantes de acuerdo en que se debe cambiar manzanas, y que los dos van a estar mejor! Por supuesto, esto puede no ser el caso. Exactamente uno de ellos consigue un gusano, no importa qué.

Donde es la falla en la lógica? Donde se hace la analogía entre esta variante del problema y la versión clásica romper?

Answer 1

Estoy totalmente de acuerdo con Henning Makholm: la diferencia más importante entre este problema y el clásico de los Monty Hall problema no es si las manzanas son elegidos por los jugadores o asignados a ellos — de hecho, lo que hace absolutamente ninguna diferencia, ya que no tienen la información a la base de cualquier elección significativa en el punto donde las manzanas se les da a ellos.

Más bien, la diferencia clave es que, en el clásico de los Monty Hall problema, el jugador sabe que Monty nunca abrir la puerta que elegir. Del mismo modo, si uno de los jugadores en este problema, sabía que no iba a ser frecuentes a morder en la primera manzana, sería mejor que la conmutación de las manzanas con el otro jugador. Pero, por supuesto, si las manzanas son asignados al azar, es imposible que más de uno de los jugadores (correctamente) poseer tales conocimientos: si dos de los jugadores que sabía que nunca iba a ser elegido para ir primero, y el tercero consiguió el wormless de apple, Monty no tendría manera de elegir a un jugador con un wormy de apple para ir de la primera.

De todos modos, usted realmente no tiene que creer en mi razonamiento anterior; como con el clásico de los Monty Hall problema, simplemente podemos enumerar los posibles resultados. Por supuesto, estoy haciendo aquí un par de supuestos que no eran muy explícitamente por el OP, pero que parece razonable interpretaciones de la declaración del problema y coincide con el clásico de los Monty Hall problema:

• Cada uno de los jugadores tiene la misma probabilidad de obtener la wormless de apple.
• Monty será siempre elige a un jugador con un wormy de apple para ir de la primera.
• De los dos jugadores con wormy manzanas, ambas tienen la misma probabilidad de ser elegido para ir en primer lugar.
• Todos los jugadores saben todas estas cosas por adelantado.

Dados estos supuestos, existen seis posibles situaciones puede ocurrir con igual probabilidad, en el punto donde los dos jugadores restantes se preguntó para cambiar:

1. $A$ la wormless de apple, $B$ fue el primero $\$ $A$ y $C$ restantes.
2. $A$ la wormless de apple, $C$ fue el primero $\$ $A$ y $B$ restantes.
3. $B$ ha la wormless de apple, $C$ fue el primero $\$ $B$ y $Un$ restantes.
4. $B$ ha la wormless de apple, $Un$ fue el primero $\$ $B$ y $C$ restantes.
5. $C$ ha la wormless de apple, $Un$ fue el primero $\$ $C$ y $B$ restantes.
6. $C$ ha la wormless de apple, $B$ fue el primero $\$ $C$ y $Un$ restantes.

De la lista de arriba, usted fácilmente puede contar con que, para cada jugador, hay cuatro escenarios donde permanecen, y en dos de aquellos que tienen el wormless de apple. Así que no hace ninguna diferencia si se cambia o no.

Pero ¿qué pasa si un jugador, por ejemplo, de $A$, sabía que nunca iba a ser elegido para ir primero? Entonces, si $B$ o $C$ consiguió el wormless de apple, Monty tendría que elegir el otro uno de los de la primera. Por lo tanto, los escenarios 4 y 5 anteriores se convierten en imposibles, mientras que el 3 y el 6 de convertirse en una probabilidad dos veces. Por lo tanto, si, por ejemplo, $A$ y $B$ a seguir siendo, ellos saben que tienen que estar en los escenarios 2 o 3 y de esos, el uno en el que $B$ ha la wormless de apple (3) ahora es dos veces tan probable como en el que $A$ (2), por lo que $A$ se quiere cambiar pero $B$ no debe.

Answer 2

No estoy seguro de Arturo solución (en los comentarios) es totalmente adecuada. No importa realmente que está haciendo la elección al azar, siempre y cuando de hecho es al azar (que estamos suponiendo que estar aquí).

Me gustaría señalar el hecho de que en el juego que usted describe, cada jugador tiene-en el tiempo de las manzanas donde elegido -- un riesgo de llegar a la ejecución de la etapa de asco en lugar de conseguir una oportunidad para cambiar. Desde este riesgo depende de si el apple fue asignado originalmente contenía un gusano o no, una vez que el jugador sabe que él no se ejecuta en el asco, tiene información de que el jugador en un clásico de los Monty Hall juego no tiene, y que cambia las probabilidades para él.

(Desde el comienzo, la posibilidad de que un jugador tiene una manzana con un gusano es de 2/3. Sin embargo, una vez que un jugador se encuentra a sí mismo que se les da la oportunidad de cambiar, la mitad de la probabilidad ha desaparecido la posibilidad de que él hubiera sido eliminado inicialmente. Así que el resto de probabilidad de tener un gusano es ahora sólo 1/2 de la probabilidad inicial de la masa, que es la misma que la probabilidad de tener una buena manzana.)

Esto también apunta a la a veces subestimado hecho de que lo que es importante en Monty Hall-tipo de problemas es no simplemente lo que en realidad ha sucedido a usted antes de hacer su elección, pero también de sus supuestos acerca de lo que podría haber sucedido a usted, pero no. Si, el juego original había sido tal que Monty tiene la opción de no ofrecer un interruptor en todo, todo el argumento estándar para la conmutación se derrumba. (Imaginemos, por ejemplo, que Monty se tratara de un avaro, y sólo se ofrece un interruptor para los concursantes que se había recogido el premio de la puerta inicialmente).

Answer 3

La diferencia es que en el problema clásico, el jugador elegido una puerta. En su problema, el jugador es tener una apple asignado por Monty. Los problemas no son análogas, y por lo que no se puede analizar el segundo al tratar como ejemplo de la primera.

Tenga en cuenta que usted no puede solucionar este problema, permitiendo a los jugadores elegir su manzanas, debido a que los dos jugadores no pueden recoger la misma apple.

El rompecabezas original funciona porque es un proceso iterativo--la elección del jugador limita Monty, por lo que Monty se tiene que revelar la información. En el juego de Monty no está limitado--él puede escoger el que apple se va a revelar antes de que las manzanas son dados a los jugadores. Su elección no revela nada útil para ellos.

Answer 4

El primer jugador se supone que siempre encuentra un gusano y luego se disculpa, por lo que el juego es realmente sólo dos jugadores y un premio. Desde perspectivas de los actores, cada uno tiene un 50% de probabilidades de sostener la manzana gana. Así que no importa si cambio o no; no hay ninguna estrategia que puede mejorar las probabilidades de ganar. MH es demostrar que una estrategia consistente de cambio mejora las probabilidades, así que esto es muy diferente la situación de MH.

Answer 5

La mayoría de las respuestas son muy buenas. Pero quiero dar la intuitiva quid de la diferencia entre este problema y el clásico de los Monty Transportar problema y por qué esa diferencia cuestiones:

En el clásico de los Monty Transportar problema, Monty revela una puerta que no tiene premio. Usted sabe Monty puede hacer esto, usted sabe que Monty se hacerlo. Esto le da ninguna información nueva. Si sus probabilidades de la ganancia antes de Monty abrió la puerta eran 1/3, que todavía están 1/3 después.

En este problema, ninguno de los tres jugadores sabe al principio si o no van a ser el jugador que sea eliminado. Evidentemente, cada uno de los tres jugadores tiene un 1/3 de probabilidades de ganar en el inicio. Pero una vez que un jugador es eliminado, cada uno de los dos jugadores restantes tiene nueva información -- que no será el jugador eliminado. Sus probabilidades de ganar ahora han pasado, de 1/3 a 1/2.

Aunque no es tan rigurosa prueba como algunas de las otras respuestas, espero que esto hace que sea más fácil de intuir, la distinción y por qué importa. Antes de Monty decirle a un jugador a comer su manzana, el jugador no sabía si o no que la persona que iba a ser de ellos. De Monty a la elección del jugador en este ejemplo, a diferencia de su elección de la puerta en el caso clásico, cambia las cosas.