$\def\d{{\,\prime}}$ $\def\nR{{\mathbb{R}}}$ $\def\l{\left}\def\r{\right}$ $\def\vf{{\vec{f}}}$ $\def\vc{{\vec{c}}}$ $\def\vr{{\vec{r}}}$ $\def\ve{{\vec{e}}}$ $\def\vF{{\vec{F}}}$ $\def\rmF{{\mathrm{F}}}$ $\def\rmC{{\mathrm{C}}}$ $\def\rmN{{\mathrm{N}}}$ $\def\rmT{{\mathrm{T}}}$ $\def\nN{{\mathbb{N}}}$
Lo que su profesor intentó explicar se describe más fácilmente con la ayuda del principio del trabajo virtual.
La esfera supone un obstáculo para la cadena. Define la forma de la cadena. La propia cadena representa implícitamente también una restricción (no se alarga bajo fuerzas de tracción). La esfera no se mueve, por lo que no ejerce ningún trabajo sobre la cadena (no tenemos en cuenta la fricción).
Que la curva $\vf:\nR\rightarrow\nR^3$ describen la forma de la restricción en función de la longitud de la curva. Hemos ampliado el dominio de esta función a la totalidad de $\nR$ para evitar problemas cuando la cadena se mueve.
Para nuestro ejemplo podemos utilizar $$ \vf(s) = \begin{cases} (R,s) & @ s < 0\\ \l(R\cos\l(\frac sR\r),R\sin\l(\frac sR\r)\r) &@ s\in\l[0,\frac\pi2R\r]\\ \l(\frac{\pi}2R-s,R\r) &@ s > \frac\pi2R \end{cases} $$ Nótese que no necesitamos realmente la representación real. Sólo se añade que sabemos sobre lo que hablamos. La curva $\vf$ se representa con color rojo en la siguiente imagen junto con su parametrización mediante $s$ . ![The red curve is a graphical representation of $\vf$.]()
Para simplificar, no nos importa la flexión de la cadena si se desliza fuera de la esfera en el lado de la rosca como si también se apoyara en algún estante allí.
Si $s$ es el parámetro de posicionamiento de la cadena en el espacio y $\xi\in [0,l]$ es la posición real del elemento de la cadena en la misma, la cadena puede describirse mediante $$ \vr(s,\xi) = \vf(s-\xi). $$ Para $\xi=0$ el punto $\vr(s,0)=\vf(s)$ es el inicio de la cadena. Para $\xi=l$ el punto $\vr(s,l)=\vf(s-l)$ es el final de la cadena. Los valores de $\xi$ en medio de $0$ y $l$ abordar otros puntos $\vr(s,\xi)$ en la cadena. Si ampliamos $s$ la cadena se desliza por la curva $\vf$ si reducimos $s$ la cadena se desliza por la curva $\vf$ . Para ver esto puede seguir la cadena que comienza en $\vr(s,0)=\vf(s)$ .
La colocación de la cadena a partir de sus resultados de imagen para $s=\frac\pi2 R$ .
Incursión en la mecánica con restricciones (Principio de Trabajo):
En primer lugar, considere una restricción de una sola partícula a alguna curva. En realidad la partícula podría ser una locomotora muy pequeña y pesada en una vía férrea curva en las montañas (arriba y abajo).
La curva viene dada por una función suave $\vf:\nR\rightarrow\nR^3$ en dependencia de algún parámetro $s$ (por ejemplo, la longitud del camino en una dirección partiendo de algún punto predefinido como en nuestro ejemplo).
La partícula se ve afectada por alguna fuerza libre $\vF_\rmF$ que también también existe si la restricción no estuviera allí. Además, la partícula se ve afectada por la fuerza de la restricción $\vF_\rmC$ que mantiene la partícula en la curva.
La fuerza de restricción contrarresta el componente $\vF_\rmN$ de la fuerza libre la dirección normal de la curva.
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La fuerza resultante es la componente tangente $\vF_\rmT$ de la fuerza libre.
La partícula está en equilibrio si la fuerza tangente resultante $\vF_\rmT=\vF_\rmF+\vF_\rmC$ es cero.
Lo bueno del principio del trabajo virtual es que no necesitamos calcular explícitamente la fuerza normal, sino que podemos restringir las ecuaciones a la dirección tangente.
La dirección de la tangente de la curva en algún lugar $s$ es la derivada $\vf\,'(s)$ de $\vf(s)$ . Podemos escalar la dirección de la tangente por algún parámetro $\delta s$ . De esta manera obtenemos una línea recta parametrizada por $\delta s$ que es tangente a la curva en el punto $s$ . Tenga en cuenta que cerca de $s$ la curva y la línea tangente son muy similares (incluida la división de la escala para $s$ y $\delta s$ ).
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Para cada valor dado $\delta s$ el vector $\delta\vr:=\vf\,'(s)\cdot \delta s$ es un vector tangente a la curva en $s$ . La tangente cantidades como $\delta \vr$ y $\delta s$ a menudo se denominan virtuales en física. Y si los físicos hablan de pequeñas desviaciones $\delta s$ se refieren realmente a tales cantidades tangentes.
El balance de fuerzas en el punto de equilibrio es $$ \vec0 = \vF_\rmF + \vF_\rmC $$ Si multiplicamos esta ecuación por un vector tangente en el lugar $s$ de la partícula obtenemos $$ 0 = \delta\vr\cdot(\vF_\rmF + \vF_\rmC) = \delta\vr\cdot\vF_\rmF + \underbrace{\delta\vr\cdot\vF_\rmC}_{=0} $$ por lo que el segundo término $\delta\vr\cdot\vF_\rmC$ es cero porque el vector tangente $\delta\vr$ y la fuerza de la restricción $\vF_\rmC$ son perpendiculares entre sí.
Así que nuestra ecuación de equilibrio resultante es $$ 0=\delta\vr\cdot \vF_\rmF = \delta s \vf\,'(s)\cdot \vF_\rmF. $$ Aquí sólo consideramos el caso de un grado de libertad $s$ en el que podemos simplemente establecer $\delta s=1$ . (Nótese, por cierto, que si tuviéramos más parámetros, por ejemplo $ s=( s_1, s_2)$ tendríamos que probar todas las posibles direcciones tangentes, por ejemplo $\delta s=(1,0)$ y $\delta s=(0,1)$ .)
Para $\delta s=1$ nuestra ecuación de equilibrio es la siguiente $$ 0= \vf\,'(s)\cdot \vF_\rmF. $$ que es una ecuación escalar que puede resolverse para el parámetro escalar parámetro de la curva $s$ .
Como ya he mencionado anteriormente. Lo bueno de nuestra primera aplicación del principio de desplazamiento virtual es que hemos eliminado las fuerzas de restricción desconocidas en la ecuación a resolver.
Ahora consideramos un sistema de $n$ partículas acopladas con un grado de libertad $s$ . Todas las partículas están limitadas a $n$ curvas $\vr_i = \vf_i(s)$ con $i=1,\ldots,n$ .
Ahora, debe haber fuerzas de restricción interna adicionales $\vF_{ij}$ entre las partículas, de lo contrario correrían por las curvas $\vf_i$ de forma independiente y sus posiciones no pueden ser parametrizadas por el mismo parámetro $s$ .
De este modo, $\vF_{ij}$ es la fuerza ejercida por la partícula $j$ sobre la partícula $i$ .
Por actio=reactio tenemos $\vF_{ij} = -\vF_{ji}$ . Por lo tanto sólo necesitamos las fuerzas $\vF_{ij}$ con $i>j$ en nuestras fórmulas.
Inclusive la restricción interna obliga a que la fuerza de equilibrio de equilibrio para el $i$ -La quinta partícula se lee como $$ 0=\sum_{j=1}^{i-1} \vF_{ij} - \sum_{j=i+1}^n \vF_{ji} + \vF_{\rmC i} + \vF_{\rmF i}. $$ El $\vF_{\rmC i}$ son las fuerzas de restricción del entorno y $\vF_{\rmF i}$ son las fuerzas libres sobre el $i$ -ésima partícula como para nuestro problema de una partícula.
¿Cuáles son los ejemplos de restricciones internas y cómo funcionan las funcionan las restricciones internas? Una restricción interna simple sería un bastón ligero con una partícula pesada unida a cada extremo. Para demostrar que ésta no es el único tipo de restricción interna, podemos ampliar este ejemplo. No No fijamos las partículas directamente, sino que las colocamos en dos ruedas ligeras que están unidas de forma rotativa a los extremos del bastón, de forma que funcionan como un mecanismo con un grado de libertad, de modo que el movimiento de las movimiento de las partículas está acoplado y puede ser expresado por un parámetro $s$ .
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En un sistema de coordenadas diferentes $\vr_j-\vr_i$ el punto $\vr_j$ es se limita a la curva $\vf_j(s)-\vf_i(s)$ y tenemos la misma situación que en el caso de la partícula individual constreñida. La fuerza de restricción $\vF_{ji}$ es perpendicular a la tangente de la curva de diferencia curva $$ (\delta\vr_j-\delta\vr_i)\perp \vF_{ji}\quad\Rightarrow\quad (\delta\vr_j-\delta\vr_i)\cdot \vF_{ji} = 0. $$ A partir del ejemplo de una sola partícula tenemos alguna esperanza de eliminar las fuerzas de restricción aprovechando esta ortogonalidad.
Pero, en la fórmula de equilibrio $0=\sum_{j=1}^{i-1} \vF_{ij} - \sum_{j=i+1}^n \vF_{ji} + \vF_{\rmC i} + \vF_{\rmF i}$ para la fuerza en el $i$ -a la partícula se le mezclan todas las fuerzas de restricción interna en. Además, como sólo tenemos un parámetro $s$ para determinar la posición de todas las partículas sólo necesitamos una fórmula.
Por ello, probemos la suma sobre todos los productos escalares: $$ 0 = \sum_{i=1}^n \delta \vr_i \cdot \l(\sum_{j=1}^{i-1} \vF_{ij}- \sum_{j=i+1}^n \vF_{ji} + \vF_{\rmC i} + \vF_{\rmF i}\r) $$ $$ 0= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1} \delta \vr_i \cdot\vF_{ij}- \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \delta \vr_i \cdot\vF_{ji} +\sum_{i=1}^n \delta \vr_i \cdot \vF_{\rmC i} + \sum_{i=1}^n \delta \vr_i \cdot\vF_{\rmF i} $$ Del problema de una sola partícula ya sabemos $\delta\vr_i\cdot \vF_{\rmC i}=0$ y sólo queda la ecuación de equilibrio $$ 0= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1} \delta \vr_i \cdot\vF_{ij}- \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \delta \vr_i \cdot\vF_{ji} + \sum_{i=1}^n \delta \vr_i \cdot\vF_{\rmF i} $$ Veamos con más detalle las dos primeras sumas con las fuerzas de restricción interna $\vF_{ij}$ $$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1} \delta \vr_i \cdot\vF_{ij}- \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \delta \vr_i \cdot\vF_{ji} $$ Para facilitar la comparación de los términos en las dos sumas, intercambiamos los nombres de los índices en la segunda: $$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1} \delta \vr_i \cdot\vF_{ij}- \sum_{j=1}^n \sum_{i=j+1}^n \delta \vr_j \cdot\vF_{ij} $$ Eso es sólo un cambio de nombre y no cambia el valor de la suma. Dejemos que a los pares de índices sobre los que hay que sumar en el primer término y en el segundo. en el primer término y en el segundo. Podemos hacerlo gráficamente en el siguiente diagrama. En él se marcan los lugares $(i,j)$ de los pares de índices que se incluyen en la suma con puntos. Simplemente dibujo algunos de estos puntos y pongo un triángulo gris en la región donde tendríamos que hay que marcar todos los puntos de la cuadrícula.
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Si hacemos lo mismo para el segundo término vemos que obtenemos exactamente el mismo triángulo y, por tanto, también el mismo conjunto de pares de índices.
Si lo prefiere, también podemos comprobarlo en set-notation. El conjunto de pares de índices para el primer término es: $$ \{(i,j)\in\nN^2 \mid 1\leq i\wedge i\leq n \wedge 1 \leq j\wedge j \leq i-1\} $$ Sólo transformando la última desigualdad: $$ =\{(i,j)\in\nN^2 \mid 1\leq i\wedge i\leq n \wedge 1 \leq j\wedge j+1 \leq i\} $$ Sólo hay que reordenar las desigualdades: $$ =\{(i,j)\in\nN^2 \mid 1 \leq j \wedge 1\leq i \wedge j+1 \leq i\wedge i\leq n\} $$ Las desigualdades $1\leq j$ y $j+1\leq i$ ya implican $1\leq i$ por lo que podemos dejar de lado esta desigualdad. Además, $j+1\leq i$ implica la desigualdad $j\leq n$ que podemos añadir sin peligro. Esto da el conjunto $$ =\{(i,j)\in\nN^2 \mid 1 \leq j \wedge j\leq n \wedge j+1 \leq i\wedge i\leq n\} $$ de pares de índices para el segundo término.
Como los conjuntos de pares de índices para las sumas son los mismos, podemos combinar los sumandos bajo el mismo signo de suma $$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1} \delta \vr_i \cdot\vF_{ij}- \sum_{j=1}^n \sum_{i=j+1}^n \delta \vr_j \cdot\vF_{ij} =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1} \l( \delta \vr_i \cdot\vF_{ij}-\delta \vr_j \cdot\vF_{ij}\r) $$ y factorizar las fuerzas de restricción interna $$ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1} \underbrace{\l( \delta \vr_i -\delta \vr_j \r)\cdot\vF_{ij}}_{=0} = 0 $$ Finalmente la suma se hace cero con la condición de ortogonalidad para las fuerzas de restricción interna $\l( \delta \vr_i -\delta \vr_j \r)\cdot\vF_{ij}=0$ de la que hablamos más arriba.
Aprovechando esto nuestra ecuación de equilibrio $$ 0= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1} \delta \vr_i \cdot\vF_{ij}- \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \delta \vr_i \cdot\vF_{ji} + \sum_{i=1}^n \delta \vr_i \cdot\vF_{\rmF i} $$ se convierte en $$ 0 = \sum_{i=1}^n \delta \vr_i \cdot\vF_{\rmF i}. $$ La suma sobre los productos de los desplazamientos virtuales $\delta\vr_i$ con las fuerzas libres $\vF_{\rmF i}$ es cero.
Esta fórmula se denomina Principio del Trabajo Virtual.
Sólo para obtener una fórmula utilizable para el cálculo sustituimos $\delta\vr_i=\vf_i\,'(s)\cdot\delta s$ $$ 0 = \sum_{i=1}^n \delta s \vf_i\,'(s) \cdot\vF_{\rmF i} $$ y establecer $\delta s=1$ que da $$ 0 = \sum_{i=1}^n \vf_i\,'(s) \cdot\vF_{\rmF i}. $$ Esta es una fórmula escalar para nuestro único grado de libertad $s$ en el sistema.
Si nuestro sistema de partículas es en realidad un continuo en lugar de partículas discretas partículas, el índice $i\in \{1,\ldots,n\}$ para $\vr_i(s)$ se sustituye por un parámetro continuo parámetro $\xi\in [0,l]$ con cierta longitud $l>0$ y escribimos $\vr(s,\xi)$ en lugar de $\vr_i(s)$ .
Además de las fuerzas discretas $\vF_{\rmF i}$ que operan en ciertos lugares $\xi_{\rmF i}$ $i=1,\ldots,n_{\rmF}$ del continuo restringido continuo también puede actuar una fuerza distribuida por longitud $\vF_{\rmF}^\d(\xi,\vr)$ en el continuo.
Para obtener una transición del principio del trabajo virtual para sistemas de partículas discretas sistemas de partículas a sistemas de partículas continuos se puede empezar con una discretización del continuo.
Diseccionamos el continuo en $k$ secciones $j=1,\ldots,k$ con longitud $\frac lk$ . El valor del parámetro $j$ -La sección "en" va desde $\xi=\xi_{j-1}:=(j-1)\frac lk$ a $\xi_j:=j\frac{l}{k}$ . Además, nos dirigimos a cada una de las secciones por algún parámetro intermedio $\xi^*_j$ con $\xi_{j-1}<\xi^*_j<\xi_j$ . Para una instancia $\vr(s,\xi_j^*)$ puede ser el centro de masa del $j$ -Señal de la sección.
Si las piezas son lo suficientemente pequeñas, es decir, el número de piezas $k$ es lo suficientemente alto suficiente, un sistema de partículas discretas será una buena aproximación del sistema de piezas. Consideramos los puntos $\vr(s,\xi_j^*)$ en los valores intermedios de los parámetros $\xi_j^*$ como ubicación del $j$ -en la partícula.
La fuerza libre causada por la fuerza distribuida por longitud en el $j$ -la pieza será: $$ \int_{\xi_{j-1}}^{\xi_j} \vF_\rmF^\d(\vr(s,\xi))d\xi\approx \vF_\rmF^\d(\vr(s,\xi^*_j))\cdot(\xi_j-\xi_{j-1}) $$ Ahora aplicamos el principio del trabajo virtual a este sistema de partículas aproximado y obtenemos $$ 0 = \sum_{j=1}^{k}\delta \vr(s,\xi_j^*)\cdot \vF_\rmF^\d(\vr(s,\xi^*_j))\cdot(\xi_j-\xi_{j-1}) + \sum_{i=1}^{n_{\rmF}} \delta \vr(s,\xi_{\rmF i}) \cdot \vF_{\rmF i} $$ esperamos que la aproximación mejore con mayor con mayor $k$ .
Para $k=1,2,\ldots$ obtenemos una secuencia de sumas de Riemann para la primera que es convergente a la integral $\int_0^l \delta\vr(s,\xi)\cdot\vF_{\rmF}^\d(s,\vr(s,\xi)) d\xi$ para $k\rightarrow\infty$ .
Esto nos lleva al principio del trabajo virtual para un 1d-continuo con un grado de libertad $s$ : $$ 0 = \int_0^l\delta\vr(s,\xi)\cdot\vF_{\rmF}^\d(s,\vr(s,\xi)) d\xi + \sum_{i=1}^{n_{\rmF}} \delta \vr(s,\xi_{\rmF i}) \cdot \vF_{\rmF i} $$ De este modo, la integral da cuenta de la fuerza libre distribuida que actúa sobre el continuo y la suma da cuenta de las fuerzas libres discretas que actúan sobre él.
La aplicación del principio del trabajo virtual proporciona $$ F_s\delta s + \int_{\xi=0}^l \delta\vr(s,\xi)\cdot \vF_{\rm G}^\d d \xi = 0 $$ donde $F_s$ es la fuerza de apoyo de la cadena, es decir, la fuerza del hilo, $\vF_{\rm G}^\d = -\lambda g\ve_z$ es la fuerza del peso por longitud y $\delta\vr(\xi,s) = \frac{\partial \vr}{\partial s}(s,\xi)\delta s$ es el virtual vectorial desplazamiento de la cuerda.
$$ \l(F_s + \int_{\xi=0}^l \frac{\partial \vr}{\partial s}(s,\xi)\cdot \vF^\d_{\rm G} d \xi\r)\delta s = 0 $$ y si esto se mantiene para los desplazamientos de la cadena virtual $\delta s\neq 0$ obtenemos la condición $$ F_s = -\int_{\xi=0}^l \frac{\partial\vr}{\partial s}(s,\xi)\cdot \vF^\d_{\rm G} d \xi $$ Tenga en cuenta que $\frac{\partial \vr}{\partial s}$ es sólo el vector unitario en dirección tangencial de la cadena. Por lo tanto, debido a la restricción sólo estamos integrando la componente tangencial $\frac{\partial \vr}{\partial s}(s,\xi)\cdot \vF^\d_{\rm G}$ de la fuerza del peso.
Se podría decir que la fuerza de restricción de la esfera desvía la fuerza de tracción en la cadena.
El problema de tu planteamiento es que te falta la fuerza de desviación de la cadena en el cálculo de la fuerza normal $dN$ . Si cortas un trozo (finito) de cadena, los extremos de este trozo no tendrán la misma dirección tangente debido a la curvatura de la esfera. Si una fuerza (el peso del resto de la cadena) actúa tangencialmente sobre el extremo inferior del trozo, no puede ser compensada totalmente por la fuerza tangente en el extremo superior (los vectores tangentes son linealmente independientes). La diferencia de fuerzas debe ser compensada por una fuerza normal sobre la shpere.
También podemos utilizar otro enfoque para comprobar el resultado.
Supuesto: sin fricción, sin amortiguación.
Energía potencial de la cadena en función del ángulo de arranque $\theta$ en la esfera $$ E_{\rm pot}(\theta) = g\lambda\underbrace{(l-R\theta)}_{\small\mbox{length}}\underbrace{\left(-\frac{l-R\theta}2\right)}_{\small\mbox{height}}+\int_0^\theta g \underbrace{R\sin(\bar\theta)}_{\mbox{height}}\underbrace{\lambda R d\bar\theta}_{d m} = g\lambda\left(-\frac{(l-R\theta)^2}2 +R^2(1-\cos(\theta))\right) $$ La fuerza de corte en el hilo del lado de la cadena es $$ F=\frac1{R}\frac{d E_{\rm pot}}{d\theta} = \frac{g\lambda}{R}\left(-R(R\theta-l) + R^2\sin(\theta)\right) $$ que da a $\theta=\frac{\pi}2$ $$ F=g\lambda\left(l-R\frac{\pi}2+R\right) $$ Esperemos que no haya errores. Pero, deberías comprobarlo. Así que, al final, este cálculo proporciona también la solución A.
Nota, un libro muy bueno sobre mecánica clásica (con restricciones) es "Mathematical Methods of Classical Mechanics" de Arnold. Se trata de un texto de posgrado, pero los primeros capítulos ya deberían ser legibles para estudiantes avanzados de secundaria.
