La definición de evento indepediente es la siguiente,
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ .
A través de la definición de dependencia condicional esto tiene algún tipo de sentido. ¿Hay otra manera de pensar en esta igualdad? Llevo un rato mirándola pero no consigo intuirla más que a través de la condicional.
¿Alguna idea?
La forma más clara de entender la noción de independencia es, sin duda, en términos del condicional: $$ P(A\mid B) = P(A). $$ Es decir, el conocimiento de $B$ no afecta a la probabilidad de $A$ .
Pero no se pierde toda esperanza al utilizar la definición $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Esto significa que al tratar de encontrar la probabilidad de que ambos $A$ y $B$ ocurren, sólo necesitamos encontrar las probabilidades de $A$ y $B$ "independientemente" y tomar su producto. Por ejemplo, supongamos que lanzamos cinco monedas y queremos encontrar la probabilidad de que todas salgan caras. Es intuitivo que, para hacerlo, encontremos la probabilidad de que cada una sea cara y tomemos su producto. Esto es así porque la probabilidad de que la segunda moneda salga cara (presumiblemente) no depende de que la primera haya salido cara, y la tercera no depende de las dos primeras, y así sucesivamente.
Para un estudiante nuevo, que nunca ha visto la definición, ¿por qué lo intuitivo sería multiplicar las probabilidades de sucesos que no dependen unos de otros? Personalmente, no puedo responder a esto sin darles una tautología, "independencia significa multiplicar".
@LoveTooNap29 Esta es la respuesta mathworld.wolfram.com/Principio de multiplicación.html ¡¡!! Estuve jugando con esta idea por un tiempo pero no pude hacerla "suave".
@LoveTooNap29 Realmente se trata de un punto de vista combinatorio como sugiere la respuesta de José Carlos Santos. En mi experiencia la mayoría de los alumnos trabajan este tipo de problemas mucho antes de aprender sobre la independencia.
Supongamos que dos eventos $A$ y $B$ son independientes. Supongamos, por ejemplo, que $A$ tiene lugar una de cada cuatro veces, mientras que $B$ tiene lugar una de cada nueve veces. Entonces, ¿con qué frecuencia ocurren ambas cosas? En cada $36(=4\times9)$ ocasiones, $A$ se produce alrededor de $9$ tiempos y $B$ se produce alrededor de $4$ tiempos. Si estos tiempos se distribuyen más o menos uniformemente, es de esperar que $A$ y $B$ ocurren simultáneamente sólo una vez. Es decir, $A$ y $B$ se producen simultáneamente $1$ en cada $36$ ocasiones.
Si pensamos en una probabilidad como la fracción de veces que algo ocurre, es conceptualmente claro que la probabilidad de que dos cosas ocurran no debe ser mayor que la probabilidad de que cualquiera de ellas ocurra individualmente. Así que $\Pr[A\cap B]\le \Pr[A]$ y $\Pr[A\cap B]\le\Pr[B]$ .
La pregunta es, ¿de qué manera $\Pr[A\cap B]$ se reducen en relación con $\Pr[A]$ o $\Pr[B]$ ? Digamos que $\Pr[A]=\frac{1}{3}$ y $\Pr[B]=\frac{2}{5}$ para que $A$ sucede $\frac{1}{3}$ del tiempo y $B$ sucede $\frac{2}{5}$ de la época. Si uno no lo pensara detenidamente, podría pensar que $B$ sucede en $\frac{2}{5}$ de esas ocasiones en las que $A$ sucede y por lo tanto que $A\cap B$ sucede $\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{15}$ del tiempo, de la misma manera que $\frac{2}{5}$ de $\frac{1}{3}$ de una tarta es $\frac{2}{15}$ de una tarta. Pero eso, de hecho, sólo es cierto cuando $A$ y $B$ son independientes. Podría ser que $B$ ocurre siempre que $A$ ocurre, por lo que $\Pr[A\cap B]=\Pr[A]\cdot1=\Pr[A]$ . O puede ser que $B$ nunca sucede cuando $A$ ocurre para que $\Pr[A\cap B]=\Pr[A]\cdot0=0$ . De hecho, $\Pr[A\cap B]$ en este ejemplo puede tomar cualquier valor entre $0$ y $\Pr[A]$ dependiendo de si la ocurrencia de $A$ hace $B$ menos probable, deja la probabilidad de $B$ sin cambios, o hace $B$ más probable.
Por supuesto, esta discusión no se ha alejado de la definición condicional. La fórmula general para $\Pr[A\cap B]$ es $$ \Pr[A\cap B]=\Pr[A]\cdot\Pr[B\mid A]. $$ La independencia es precisamente la condición para que la ocurrencia de $A$ hace $B$ ni más ni menos probable, $\Pr[B\mid A]=\Pr[B]$ de modo que la fórmula se convierte en $\Pr[A\cap B]=\Pr[A]\cdot\Pr[B]$ . Sin embargo, espero que esta forma de pensar haga que la definición multiplicativa de independencia sea tan intuitiva como la definición condicional.
Nota añadida: He cambiado los números en el ejemplo anterior porque el límite inferior de $\Pr[A\cap B]$ era falso usando los números originales. En general, la verdad es algo más complicada: si $\Pr[B]\ge\Pr[A]$ entonces $\Pr[A\cap B]$ puede tomar cualquier valor entre $\max(0,\Pr[A]+\Pr[B]-1)$ y $\Pr[A]$ . Mis números originales eran $\Pr[A]=\frac{3}{5}$ y $\Pr[B]=\frac{2}{3}$ . Como la suma de estas probabilidades es mayor que $1$ no es posible que $A$ y $B$ para ser disjuntos, es decir pour $\Pr[A\cap B]$ para ser $0$ . En este ejemplo la intersección es lo más pequeña posible cuando $\Pr[A\cap B]=\Pr[A]+\Pr[B]-1$ , que es de donde proviene el límite inferior en este caso. Así que para estos números, $\Pr[A\cap B]$ debe estar entre $\frac{3}{5}+\frac{2}{3}-1=\frac{4}{15}$ y $\Pr[A]=\frac{3}{5}$ .
Desde $P\left(A/B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ se puede escribir de la siguiente forma. $$P\left(A/B\right)=P(A).$$ Ahora, creo que está claro.
Creo que el siguiente ejemplo le ayudará.
Sabemos que el nacimiento de los hijos es independiente del nacimiento anterior.
Supongamos que hay dos nacimientos y
$A$ es un evento que nació niña en el primer tiempo, mientras que
$B$ es un evento que nació niño en el segundo tiempo.
$$\Omega=\{BG,BB,GB,GG\},$$ $$A=\{GG,GB\},$$ $$B=\{GB,BB\}$$ y $$A\cap B=\{GB\}.$$ Así, $$P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},$$ $$P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},$$ $$P(A\cap B)=\frac{1}{4}$$ y vemos que efectivamente $$P(A\cap B)=P(A)P(B).$$
Creo que deberías escribir algo así $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} = P(A)$ Sólo para que quede más claro...
Demasiadas fórmulas para lo que considero intuición.
La gran pregunta es: ¿de dónde viene la multiplicación?
Digamos que tenemos un informe meteorológico fiable que dice que la semana que viene todos los días tienen un 50% de posibilidades de lluvia.
Lancemos una moneda cada día.
¿Cuál es la probabilidad de que la moneda salga cara un día que llueva?
Para observar todos los resultados posibles, es fácil ver que necesito distinguir 4 posibilidades: que llueva o no, y que la moneda salga cara o no.
Con esa probabilidad de 50/50 para cada evento, las cuatro posibilidades son intuitivamente iguales, por lo que la probabilidad de que llueva cabezas = 1/4. Pero, por supuesto, no tengo que ver inmediatamente que eso es igual a 1/2 * 1/2.
Ahora bien, ¿qué ocurre si el parte meteorológico dice que la probabilidad de lluvia es sólo del 25%?
P(cabezas) sigue siendo 1/2, pero mis cuatro opciones obviamente ya no son iguales.
En realidad, si miro a los 100 días que tiro a la cabeza, espero que sólo 25 de ellos sean lluviosos. Así que de los próximos 200 días que lance una moneda, sólo se espera que 25 sean días lluviosos con un lanzamiento de cara.
Debe empezar a surgir algún patrón: De cualquier día que lance una moneda, P(cara) resultará cara, y de esos P(rain) son los días de cabeza lluviosa. Eso, al menos para mí, lleva rápidamente a ver que P(cabezas) y P(lluvia) pueden simplemente multiplicarse para llegar a P(día lluvioso y lanzar cabezas).
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