Deje $p = a + b + c$, la conjetura es equivalente a
$$|p-a| \ge |a|\quad\lor\quad |p-b| \ge |b|\quad\lor\quad |p-c| \ge |c| \tag{*1}$$
Si $p = 0$, esto es trivialmente cierto.
Si $p \ne 0$, vamos a $\ell$ ser la bisectriz perpendicular del segmento de la línea de unirse a $0$$p$. Esta bisectriz $\ell$ separada $\mathbb{C}$ en dos la mitad de los aviones, uno contiene la $0$ y el otro contiene $p$. La condición de $(*1)$ es equivalente a al menos uno de $a, b, c$ se encuentra en la cerrada de la mitad de plano que contiene a $0$.
Si esto no es verdad, los tres puntos de $a, b, c$ mentira en la mitad del plano que contiene a $p$. Todas las proyecciones de $a, b, c$ a lo largo de la dirección de $p$ será mayor que $\frac12 |p|$. Esta fuerza de la proyección de $p$ sobre sí mismo es, al menos,$\frac32|p|$. Esto es imposible. $a + b + c$ no se puede sumar a $p$ y esto se contradice con la definición de $p$.
Como resultado, $(*1)$ también es cierto cuando se $p \ne 0$.
Por encima de prueba es geométricas en la naturaleza. También podemos probar la conjetura de una forma más algebraicas de la forma.
Al $(*1)$ falla, tenemos
$$\begin{align}
& |p-a|^2 + |p-b|^2 + |p-c|^2 < |a|^2 + |b|^2 + |c|^2\\
\iff & 3|p|^2 - p(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - \bar{p} (a+b+c) < 0\\
\iff & |p|^2 = 3|p|^2 - 2p\bar{p} < 0
\end{align}$$
La última afirmación $|p|^2 < 0$ es absurdo, por lo $(*1)$ es cierto.
