¿Cuáles son algunos problemas integrales multivariables buenos moderadamente difíciles a difíciles?

Question

Estoy buscando interesante, difícil, o de otra manera inteligente multivariable integral de los problemas que son más difíciles de lo habitual de libros de texto de problemas (que, en el libro que estoy leyendo, al menos, implican generalmente la reordenación de una integral iterada, o hacer de una forma bastante habitual de sustitución como la polar o coordenadas esféricas).

Es decir, estoy interesado en los problemas que involucran ya sea complicado usos de la multivariable de sustitución, interesantes interpretaciones del problema (es decir, para resolver el problema es necesario utilizar un multivariable integral, pero ¿cómo?), inteligente partición del dominio de integración, o de otras interesantes maniobras.

Para dar algunos de posicionamiento, un problema que sería demasiado fácil es resolver el siguiente:

$$ \int_0^3\int_{x^2}^9 x^3e^{y^3}\text{d}y\text{d}x $$

Y para completar, he aquí un problema que probablemente sería demasiado duro.

Edit: yo también estoy interesado en el más oscuro y problemas inusuales.

Answer 1

Para otros problemas como este, usted puede consultar esta página web.

Positivo escalares $a_1,\dots,a_n$, definir $\Delta^n(a_1,\dots,a_n)$ a ser el subconjunto de $\Bbb R^n$ dada por $$ \Delta^n(a_1,\dots,a_n) = \left\{(x_1,\dots,x_n)\in\Bbb R^n\mediados de 0\le \frac{x_1}{a_1}+\dotsb+\frac{x_n}{a_n}\le 1\right\}. $$ Mostrar que $$ \operatorname{volumen}(\Delta^n(a_1,\dots,a_n)) = \frac{a_1\dotsb a_n}{n!}. $$ La región de $\Delta^n(a_1,\dots,a_n)$ es conocido como el $n$-simplex.

Answer 2

Quizás hayas visto esto antes; Es un ejemplo clásico de una integral complicada:$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$ $ No tiene una integral indefinida elemental, sin embargo, podemos evaluar su valor en$\mathbb{R}$ a través de un par de métodos diferentes. Un método en particular (quizás de lo que no estoy al tanto) hace un uso inteligente de la integración múltiple.