Distribución posterior del parámetro.

Question

Estoy buscando en la pg. 257 del libro de texto "computación Estadística con R" por María L. Rizzo, donde se da un ejemplo de un modelo simple de la rentabilidad de las acciones:

Tenemos 5 acciones, y al final de un año de 250 días de negociación, tenemos un vector [$x_1$, $x_2$, ..., $x_5$], donde $x_i$ es el número de días que las acciones $i$ era el mejor rendimiento de las acciones. Este es un multinomial de distribución conjunta, con la probabilidad de vectores $p = [\frac{1}{3}, \frac{1 - \beta}{3}, \frac{1 - 2\beta}{3}, \frac{2\beta}{3}, \frac{\beta}{3} ]$,$\beta \in (0, 0.5)$.

Ahora, lo que no entiendo, es que en el libro de texto ahora dicen que la posterior distribución de probabilidad de $\beta$, que ahora representa el parámetro de la distribución multinomial aquí, es

$Pr[\beta | (x_1, ..., x_5)] = \frac{250!}{x_1!x_2!x_3!x_4!x_5!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{x_3}p_4^{x_4}p_5^{x_5}$

que es también el pmf (función de masa de probabilidad) de la distribución multinomial, (teniendo en cuenta el parámetro), es decir,

$Pr[(x_1, ..., x_5) | \beta] = \frac{250!}{x_1!x_2!x_3!x_4!x_5!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{x_3}p_4^{x_4}p_5^{x_5}$

Según Bayes

$Pr[\beta | (x_1, ..., x_5)] = \frac{Pr[(x_1, ..., x_5) | \beta]Pr[\beta]}{Pr[(x_1, ..., x_5)]}$

Así que la única manera de $Pr[\beta | (x_1, ..., x_5)] = Pr[ (x_1, ..., x_5) | \beta]$ entonces es si $Pr[\beta] = Pr[(x_1, ..., x_5)]$, pero estoy asumiendo aquí que $\beta$ es distribuido uniformemente, lo $Pr[\beta]$ una constante. $Pr[(x_1, ..., x_5)]$ no es una constante, si estoy en lo correcto, porque de la combinatoria.

Así que lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Aunque no tengo acceso a este libro, creo que la primera ecuación es la falta de una constante de proporcionalidad, es decir, que la parte posterior en $\beta$ debe ser $$\begin{align*}\pi(\beta | (x_1, ..., x_5)) &\propto \dfrac{250!}{x_1!x_2!x_3!x_4!x_5!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{x_3}p_4^{x_4}p_5^{x_5}\\ &\propto p_2(\beta)^{x_2}p_3(\beta)^{x_3}p_4(\beta)^{x_4}p_5(\beta)^{x_5}\\&\propto \{1 - \beta\}^{x_2}\, \{1 - 2\beta\}^{x_3}\, \beta^{x_4}\, \beta^{x_5}\\&\propto \{1 - \beta\}^{x_2}\, \{1 - 2\beta\}^{x_3}\, \beta^{x_4+x_5}\end{align*}$$ con un manejable normalización constante ya que este es un polinomio en a $\beta$. Tienes razón en que el marginal $p(x_1, ..., x_5)$ no es una constante. Por ejemplo, $$\begin{align}\int_0^{1/2} \{1 - \beta\}^{3}\, &\{1 - 2\beta\}^{6}\, \beta^{9} \text{d}\beta = (1/2)^{10}/10 - (15(1/2)^{11})/11 \\ &+ (33(1/2)^{12})/4 - 29(1/2)^{13} + (456(1/2)^{14})/7 - (484(1/2)^{15})/5\\ &+ 95(1/2)^{16} - (1008(1/2)^{17})/17 + (64(1/2)^{18})/3 - (64(1/2)^{19})/19 \\ &= 4.38\, 10^{-9} \end{align}$$ y $$\begin{align}\int_0^{1/2} \{1 - \beta\}^{1}\, \{1 - 2\beta\}^{2}\, \beta^{3} \text{d}\beta &= (1/2)^4/4 - (1/2)^5 + (4(1/2)^6)/3 - (4(1/2)^7)/7 \\ &= 7.44\, 10^{-4} \end{align}$$ Para un problema similar con un muestreo de Gibbs de la resolución, consulte Tanner & Wong (1987) [también se procesan en nuestro libro, páginas 347-348].