¿Topología en la botella de Klein?

Question

Yo estaba tratando de mostrar que la botella de Klein fue el segundo contables. Mi intento fue el uso que tiene la topología de subespacio de $\mathbb R^3$. Entonces me di cuenta de que no es imbeddable en $\mathbb R^3$. Por lo tanto, uno puede utilizar la topología de subespacio. Pero no sé qué otra cosa hacer.

Cómo mostrar que la botella de Klein es segundo contable? Si no tiene la topología de subespacio de $\mathbb R^3$, lo topología tiene? ¿Inmersiones inducir una topología?

Por lo tanto: ¿qué es la topología en botella Klein si la botella de Klein es un cuadrado con lados identificado?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Por supuesto, usted puede utilizar la incrustación de la botella Klein $K:=I^2/R$ $\mathbb R^4$ donde $R$ es la relación de equivalencia. Pero usted tendría la fórmula exacta para la asignación de los cuales puede ser bastante complicado.
También se puede hacer directamente con el cociente del espacio mismo. El cociente mapa de $q$ es surjective y continua (por la definición del coeficiente de espacio), pero es un ejercicio fácil para demostrar que $q$ también es cerrado, es decir, la preimagen de la imagen de un conjunto cerrado en $I^2$ es cerrado. Además de las fibras (la preimages de puntos) son las clases de equivalencia, y estos son finitos, por lo tanto compacto. De ello se desprende que $q$ es lo que se llama un perfecto asignación. La cosa buena acerca de la perfecta mapas es que llevan más de que muchas de las propiedades de la imagen, entre los que es de segunda countability.

Edit: (el OP pidió una sugerencia con respecto a la closedness del cociente mapa)

Deje $C$ ser cerrado en $I^2$ y deje $\hat C$ su saturación, es decir,$\hat C=q^{-1}(q(C))$. Usted tiene que demostrar que un punto de $x$ fuera de $\hat C$ está contenida en una $\epsilon$-bola disjunta de a $\hat C$. Vamos a mostrar esto para $x$ la esquina superior derecha de la plaza. Tenemos que encontrar a $\epsilon>0$ tal que $B_\epsilon(x)\cap \hat C=\emptyset$, lo que equivale a $\hat B_\epsilon(x)\cap C=\emptyset$. La saturación de la pelota se parecen a la zona roja en la figura de abajo. Desde los puntos en la parte superior derecha, en la esquina superior izquierda y la esquina inferior izquierda están fuera de $C$, es obvio que ese $\epsilon$ existe. En los casos en que $x$ es un punto en el borde o en el interior de la plaza son igualmente fáciles.
Esto demuestra que $q(C)$ está cerrado desde su preimagen $\hat C$ es.

Edit 2: (fórmula explícita para los contables base de K)

Deje $(B_k)_{k\in\mathbb N}$ ser el contable de base para $I^2$. Definir $\mathscr B=\{K\backslash q(I^2\backslash(B_{k_1}\cup B_{k_2}\cup B_{k_3}\cup B_{k_4}))\ ;\ k_i\in\mathbb N\}$. Tratamos de demostrar que esto constituye una base de $K$. Si usted necesita ayuda, no dude en preguntar.

Answer 2

Me llevan a entender la topología de la plaza.

La topología en el cuadrado con lados opuestos identificado es el cociente de la topología. La idea de la topología cociente es esta: si $X$ es un espacio topológico, y $R$ es una relación de equivalencia en $X$, entonces el cociente de la topología en $X/R$ (que es el conjunto de clases de equivalencia de a $X$ bajo $R$) es el elegido para hacer el natural surjection $f:X\to X/R$ continuo. Así, un subconjunto de a $X/R$ es abierto en la topología cociente si y sólo si su imagen inversa bajo $f$ está abierto en $X$.

En nuestro caso, $X$ es la plaza, y dos puntos son equivalentes si tienen identificado al identificar los pares de lados opuestos.

Answer 3

El $K$ de la botella de Klein es una superficie interesante de nonorientable. Se puede presentar como un cociente de ${\mathbb R}^2$ por algún grupo discreto, como se ha explicado en otras respuestas a esta pregunta. Pero "segundo countability" no es para una fracción de segundo una pregunta con respecto a $K$. Cualquier conjunto abierto en $K$ es una Unión de dos dimensiones discos con radio racional y racionales coordenadas de su centro.