Una función con derivada lineal media es un polinomio cuadrático

Question

Supongamos que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función diferenciable tal que $$f'\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{f'(a)+f'(b)}2,\quad \forall a,b\in\mathbb{R}$$ Demostrar que $f$ es un polinomio de grado máximo $2$ .

En otras palabras: si la derivada de una función diferenciable es lineal en el punto medio, entonces es lineal. (En general, ser punto medio lineal, es decir, $g((a+b)/2)=(g(a)+g(b))/2$ , es más débil ).

Estoy buscando una solución sin herramientas de categoría Baire, por ejemplo, al nivel de Rudin's Principios del análisis matemático .

Motivación

El problema no es difícil de resolver si se utiliza el hecho de que $f'$ siendo un Baire- $1$ tiene un punto de continuidad. Luego el resto es elemental: he aquí una prueba de que una función lineal de punto medio $g$ con un punto de continuidad es lineal:

1. Restar una función lineal para ordenar $g(0)=g(1)=0$ .
2. Aplique la propiedad lineal del punto medio para concluir que $g=0$ en todos los racionales diádicos.
3. Si $g$ es continua en $a$ entonces $g(a)=0$ por encima.
4. Por cada $\epsilon>0$ existe una vecindad de $a$ en el que $|g|<\epsilon$ .
5. De la linealidad media, y $g$ en $0$ en un conjunto denso, se deduce que $|g|<\epsilon$ en todas partes.
6. Así, $g\equiv 0$ .

Pero invocando ese hecho sobre Baire- $1$ función se parece a usar un mazo y me hace pensar que me estoy perdiendo algún enfoque aquí.

Answer 1

Espero no haber cometido ningún error.

Tenga en cuenta en primer lugar que si $f(x)$ tiene la propiedad deseada, entonces también la tiene la función $f(x) - f^\prime(0) x - f(0)$ por lo que podemos suponer que $f(0) = f^\prime(0) = 0$ .

Ahora tomando $a = 2x$ , $b = 0$ nos da que

$$f^\prime(x) = \frac{f^\prime(2x)}{2},$$ y así

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} (f(2x) - 4f(x)) = 0.$$

Esto implica que existe alguna constante $C$ tal que $f(2x) = 4f(x) + C$ para todos $x \in \mathbb{R}$ . Tomando $x = 0$ muestra que $C=0$ y así

$$f(2x) = 4f(x),\quad\text{ for all }\quad x \in \mathbb{R}.$$

Ahora tomando $a = 2x$ y $b = 2$ nos da que

$$f^\prime(x+1) = \frac{f^\prime(2x)+f^\prime(2)}{2} = \frac{2f^\prime(x) + 2f^\prime(1)}{2} = f^\prime(x) + f^\prime(1)$$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .

Así $$\frac{\text{d}}{\text{d}x} (f(x+1) - f(x) - f^\prime(1)x) = 0,$$ lo que implica que existe alguna constante $K$ tal que $f(x+1) = f(x) + f^\prime(1)x + K$ para todos $x \in \mathbb{R}$ .

En $x = 0$ muestra que $K = f(1)$ . Tomando $x = 1$ nos da $$4f(1) = f(2) = f(1) + f^\prime(1) + f(1)$$

y así $f^\prime(1) = 2f(1) = 2K$ . Así pues, tenemos que $f(x + 1) = f(x) + 2Kx + K$ .

Podemos utilizar esta fórmula para demostrar por inducción que $f(m) = Km^2$ para todos $m \in \mathbb{Z}$ .

Podemos entonces utilizar la fórmula $f(2x) = 4f(x)$ para demostrar por inducción que $f(x) = Kx^2$ para todos los números reales $x$ de la forma $x = \frac{m}{2^n}$ donde $m$ y $n$ son números enteros.

Estos números forman un subconjunto denso de los reales, y $f$ es continua ya que es diferenciable, por lo que debemos tener que

$$f(x) = Kx^2 \quad\text{ for all }\quad x \in \mathbb{R}$$

como queríamos mostrar.