Diferentes versiones del lema de Urysohn

Question

En resumen, me he encontrado con dos versiones diferentes de Urysohn Lema, que voy a presentar aquí:

Versión 1: [Big Rudin, 2.12, página 39]: Supongamos que X es localmente compacto Hausdorff espacio, V es abierto en X, $K \subset V$ y K es compacto. Entonces existe un $f \in C_c(X)$ tal que $K \prec f \prec V$ con la siguiente notación:

• $f \in C_c(X)$ si f es continua y tiene soporte compacto

• $K \prec f$ si $0 \le f(x) \le 1$ para todo x y $f(K) = 1$

• $f \prec V$ si $0 \le f(x) \le 1$ para todo x y el soporte de f se encuentra en V.

Versión 2: [Munkres, la Topología, la página 201]: sea X un espacio normal, sea a y B disjuntos cerrado subconjuntos de X. Vamos [a,b] un intervalo cerrado en la recta real. Entonces existe un mapa continuo $f: X \rightarrow [a,b]$ tal que $f(x) = a \forall x \in A$ $f(x) = b \forall x \in B$

Mi pregunta es de que la versión es "más fuerte"? He tratado de deducir si una versión es la consecuencia de la otra, pero no parece el caso. Tan lejos como he leído tanto a través de libros, cada versión tiene distintas aplicaciones, así cómo la diferencia en la condición inicial afectan a su aplicación?

Answer 1

El teorema de Munkres es el que generalmente se conoce como Uryso(h)n del lema; considero Rudin del uso del término incorrecto. Los dos resultados no son directamente comparables: un localmente compacto Hausdorff espacio no necesita ser normal, y un espacio normal no necesita ser localmente compacto.

Agregó: sin Embargo, como Andreas Blass me recuerda en los comentarios, uno puede deducir Rudin del resultado de Uryson del lexema, pasando el punto de compactification $X^*$ de un localmente compacto Hausdorff espacio de $X$: es un compacto Hausdorff espacio y por lo tanto normal, y un subconjunto compacto de $X$ todavía está cerrada en $X^*$.

Las respuestas a esta pregunta se dan algunos ejemplos de localmente compacto Hausdorff espacios que no son normales; $\Bbb Q$ es un ejemplo familiar de una normal (de hecho metrizable) espacio que no es localmente compacto. El espacio de irrationals es otra.