Prueba en Fulton ' s * curvas algebraicas *

Question

Estoy leyendo Fulton curvas algebraicas libro en la página 106 y yo no entendía esta prueba:

1. Yo no entendía por qué podemos asumir que la $F_Y\neq 0$? (lo $F$ irreducible tiene que ver con esto?). Después de Fulton dice "$F$ no divide $F_Y$" (por qué?), entonces él concluye que $F_Y(x,y)\neq 0$ (pero él ya ha demostrado que esta!).

2. Por qué $d(F(x,y))=0$?

Lo siento por estas dudas, estoy casi seguro de que estas dudas son tontas. Por desgracia, creo que realmente tienen problemas con este tema.

Gracias

Answer 1

1. Mientras uno de $F_X$ o $F_Y$ es distinto de cero, podemos suponer $F_Y\ne 0$, y si $F_X=F_Y=0$, entonces cualquiera de las $F$ es una constante, que no es el caso, ya que los $F$ es irreductible, o $k$ tiene características de las $p$ $F$ es un polinomio en a$X^p$$Y^p$. Desde $k$ es algebraicamente cerrado, el $p^{\text{th}}$ raíces de todos los coeficientes de existir, por lo que $$F=\sum a_{ij}X^{pi}Y^{pj} = \left(\sum \sqrt[p]{a_{ij}} X^iY^j\right)^p.$$ Again since $F$ is irreducible, this is impossible. $F_Y$ has smaller $S$ degree, so $F \nmid F_Y$. Actually he has proved $F_Y(X,Y)\ne 0$ not $F_Y(x,y)\ne 0$. You do need $F \nmid F_Y$ to conclude $F_Y(x,y)\ne 0$.

2. $F(x,y)=0$, lo $d(F(x,y))=d(0)=0.$