Diferenciación en los espacios de Besov-Zygmund

Question

Esta es mi segunda pregunta en poco tiempo sobre los espacios de Besov. Pido disculpas. Estoy teniendo un tiempo difícil con ellos y realmente necesito entender estos espacios rápidamente.

El Espacios de Besov $B^s_{\infty,\infty}(\mathbb{R^n})$ para $s \in \mathbb{R}$ se definen de la siguiente manera:

Una distribución atemperada $u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R^n})$ se dice que está en el espacio de Besov $B^s_{\infty,\infty}(\mathbb{R^n})$ si tenemos eso $$ \|u\|_{B^s_{\infty,\infty}(\mathbb{R^n})}:=\sup_{j \in \mathbb{N}} 2^{js} \|\varphi_j(D)u\|_{L^{\infty}} < \infty $$

Donde $\varphi_j$ , $j \ge 0$ es una partición Littlewood-Paley de la unidad, y

$\varphi_j(D)u:=\mathcal{F}^{-1} \varphi_j \mathcal{F}u$

Pregunta

Mi pregunta es: dado $u \in B^s_{\infty,\infty}(\mathbb{R^n})$ es su derivada distributiva $\partial_{x_i}u$ en el espacio $B^{s-1}_{\infty,\infty}$ ?

Cómo lo intenté

Mis cálculos muestran que $\varphi_j(D)u_{x_i} = (\varphi_j(D)u)_{x_i}$ por lo que para una función schwartz $\phi \in \mathcal{S}$ tenemos

$$|(\varphi_j(D)u_{x_i},\phi)|=|(\varphi_j(D)u,\phi_{x_i})|$$

Tomando el supremum en $\phi$ con $\|\phi\|_{L^1}=1$ en la expresión anterior deberíamos obtener $\|\varphi_j(D)u_{x_i}\|_{L^{\infty}}$ pero de esto no saco ninguna buena decadencia para $\|\varphi_j(D)u_{x_i}\|_{L^{\infty}}$ ya que los operadores diferenciales son ilimitados en $L^1$

Nota:

Este resultado es válido para $s>1$ no enteros ya que se puede demostrar que los espacios de Besov $B^s_{\infty,\infty}$ coinciden con los espacios de Hölder $C^s$ para $s>0$ no entero. Para los enteros $s\ge 1$ también es cierto ya que coinciden con los espacios de Zygmund definidos en mi otra pregunta aquí

Los espacios de Besov-Zygmund y el teorema de la función inversa, ¿es la inversa de Zygmund?

En las referencias clásicas no encuentro este resultado, por lo que empiezo a dudar de que sea cierto, ya que debería ser fácil de demostrar y debería estar entre las propiedades básicas sobre los espacios de Besov que hay en cualquier libro, pero parece que no es así (quizá es que es demasiado fácil para los libros y no lo veo).

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Teorema 9 del capítulo 3 de la obra de Peetre ``New Thoughts on Besov Spaces'':

Para cualquier índice múltiple $\alpha$ tenemos el mapa continuo

\begin{equation*} D^{\alpha}: B_p^{s,q}(\mathbb{R}^n) \rightarrow B_p^{s-|\alpha|,q}(\mathbb{R}^n) \end{equation*}

Esbozo de prueba:

El $B_{p,q}^s(\mathbb{R}^n)$ norma de una función $u$ consiste en términos de la forma $\| \varphi_j(D)u \|_{L^p}$ , por lo que se demuestra que $\partial_{x_i}:B_{p,q}^s(\mathbb{R}^n) \rightarrow B_{p,q}^{s-1}(\mathbb{R}^n)$ de forma continua, se reduce a delimitar $\|\partial_{x_i} \varphi_j(D)u \|_{L^p}$ por $\|\varphi_j(D)u \|_{L^p}$ . El límite requerido es

\begin{equation*} \|\partial_{x_i} \varphi_j(D)u \|_{L^p} \leq C 2^j \|\varphi_j(D)u \|_{L^p} \end{equation*} para alguna constante uniforme $C>0$ . Estas desigualdades que limitan una (semi)norma por una norma más débil se denominan comúnmente desigualdades de Bernstein. En este caso, $\varphi_j$ está soportado de forma compacta, por lo que $\varphi_j(D)u$ es una función de banda limitada con ancho de banda $\approx 2^k$ . La desigualdad se puede demostrar para un $j_0$ y ampliado utilizando la homogeneidad de $\partial_{x_i}$ .

Observación:

Si se busca en la literatura las desigualdades de Bernstein, es posible que haya que buscar funciones enteras de tipo exponencial en lugar de funciones de banda limitada.