El problema de Burton: muestra que la ecuación$n^2 + (n+1)^2 = m^3$ no tiene solución en los enteros positivos.
Hasta ahora, puedo ver que gcd ($n$,$n+1$)$=1$ y$m \equiv_4 1$ y$m=a^2 + b^2$ para algunos enteros a, b. Supongo que necesito llegar a una contradicción.
En este punto, estoy atascado. ¿Alguna pista?
La ecuación es equivalente a$(2(2n+1))^2+4=(2m)^3$.
$a^2+4=b^3$ con$a,b\in\mathbb Z$ es una ecuación de Mordell. Vea este documento (página$6$) para una solución elemental que utiliza$\Bbb Z[i]$ (los enteros gaussianos ). Las únicas soluciones son$(a,b)=(\pm 2,2), (\pm 11, 5)$.
$2m$ es par, así que$2m=2$ y$2(2n+1)=\pm 2$, así que las únicas soluciones enteras son$(m,n)=(1,-1),(1,0)$.
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