Necesito ayuda con la serie taylor.

Question

Evalúa el límite$$\lim\limits_{x \to 1} \frac{1-x + \ln x}{1+ \cos πx}$ $

El límite que estoy intentando obtener es$-\frac{1}{π^2}$, tal como lo resolví de la regla de l'Hopitals.

Ahora necesito resolver el límite usando la Serie Taylor y esto es lo que hice hasta ahora

$$ \begin{align*} f(x) &= 1-x + \ln x = 1 -x + (x-1) + \frac{1}{2} (x-1)^2 + \frac{1}{3} (x-1)^3 - \frac{1}{4} (x-1)^4 + \ldots \\ g(x) &= 1+\cos πx = 1+\left[ 1+\frac{1}{2!} (πx)^2 + \frac{1}{4!} (πx)^4 - \frac{1}{6!} (πx)^6 +\ldots \right] \\ \frac {f(x)}{g(x)} & = \frac{\frac{1}{2} (x-1)^2 + \frac{1}{3} (x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \ldots} {2-\frac{1}{2!} (πx)^2 + \frac{1}{4!} (πx)^4 - \frac{1}{6!} (πx)^6+\ldots} \end {align *} $$

No tengo idea de a dónde ir para resolver$-\frac{1}{π^2}$ ahora. Por favor ayuda

Answer 1

Insinuación. Tienes, cerca de$x=1$,$$1-x + \ln x = 1 -x + (x-1) -(x-1)^2/2+ O(x-1)^3$ $$$1-x + \ln x = -(x-1)^2/2+ O(x-1)^3$ $ y$$1+\cos πx = 1 -1+\frac{\pi^2}2 (x-1)^2 + O(x-1)^3$ $$$1+\cos πx = \frac{\pi^2}2 (x-1)^2 + O(x-1)^3$ $, por lo tanto

$$\frac{1-x + \ln x}{1+ \cos πx} =\frac{-(x-1)^2/2+ O(x-1)^3}{\frac{\pi^2}2 (x-1)^2 + O(x-1)^3}=\frac{-1/2+ O(x-1)}{\pi^2/2 + O(x-1)}=-\frac{1}{\pi^2}+ O(x-1)$ $ entonces

PS

Answer 2

Primero, deje$h=x-1$ y luego$\cos \pi x=\cos (\pi +\pi h)=-\cos (\pi h).$

A continuación, vuelva a escribir la fracción original como el siguiente producto: \begin{equation*} \frac{1-x+\ln x}{1+\cos \pi x}=\frac{-h+\ln (1+h)}{1-\cos (\pi h)}=\frac{% -h+\ln (1+h)}{h^{2}}\times \frac{(\pi h)^{2}}{(1-\cos (\pi h))}\times \frac{1% }{\pi ^{2}}. \end{ecuación *} Por expansión de Taylor podemos observar que \begin{align} \cos \pi h& =1-\frac{(\pi h)^{2}}{2}+o(h^{3}) \notag \\ \log (1+h)& =h-\frac{h^{2}}{2}+o(h^{3}). \notag \end {align} entonces \begin{equation*} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{-h+\log (1+h)}{h^{2}}=\lim_{h\rightarrow 0}(-% \frac{1}{2}+o(h))=-\frac{1}{2}. \end {ecuación *} \begin{equation} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1-\cos (\pi h)}{(\pi h)^{2}}=\lim_{h\rightarrow 0}% \frac{\frac{(\pi h)^{2}}{2}+o(h^{3})}{(\pi h)^{2}}=\lim_{h\rightarrow 0}% \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi ^{2}}o(h)=\frac{1}{2}. \end {equation} Por lo tanto \begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x+\ln x}{1+\cos \pi x} &=&\lim_{h\rightarrow 0}% \frac{-h+\ln (1+h)}{h^{2}}\cdot \frac{(\pi h)^{2}}{(1-\cos (\pi h))}\cdot \frac{1}{\pi ^{2}}. \\ &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-h+\ln (1+h)}{h^{2}}\cdot \lim_{h\rightarrow 0}% \frac{(\pi h)^{2}}{(1-\cos (\pi h))}\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\pi ^{2}}. \\ &=&-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{1}{\pi ^{2}} \\ &=&-\frac{1}{\pi ^{2}}. \end {eqnarray *}

$\bf{EDIT:}$ Usted apila porque trató de lidiar con toda la expresión en ONCE. Mis cálculos se realizaron DOS veces pero en UNA PIEZA PEQUEÑA a la vez: ¡Divide y conquista!

Answer 3

No necesita la expansión Tailor, pero solo la primera derivada, la regla de L'Hôpital nos da: $$ \ lim \ limits_ {x \ to 1} \ frac {1-x + \ ln x} {1+ \ cos πx} = \ lim \ limits_ {x \ to 1} \ frac {\ frac {1} {x} -1} {- \ pi \, \ sin \ pi x} = \ lim \ limits_ {x \ to 1} \ dfrac {\ dfrac {1} {x ^ 2}} {- \ pi ^ 2 \ cos \ pi x} = - \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} $$