Cómo encuentro el límite de$P_n$

Question

Deje$a_1=1$ y$a_n=n(a_{n-1}+1)$ para$n=2,3,\dots$. Defina$$P_n=\left(1+\frac{1}{a_1}\right)\left(1+\frac{1}{a_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{a_n}\right)$$Find $$\lim_{n \to \infty}P_n$ $

Prueba:$$1+\frac{1}{a_n}=1+\frac{1}{n(a_{n-1}+1)}\;.$ $ Pero no puedo simplemente simplificar. Por favor, ayuda.

Answer 1

$a_{n+1}=(n+1)(a_n+1)=(n+1)a_n+(n+1)$, y así sucesivamente, puede obtener ese$$a_{n+1}=(n+1)!\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right).$ $ Si es eso,$$P_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!},$ $ Entonces$$\lim P_n=e.$ $

Answer 2

Sugerencia: reescriba$P_n$ as:$$P_n=\left(\frac{a_1+1}{a_1}\right)(\frac{a_2+1}{a_2})\cdots(\frac{a_n+1}{a_n})$ $$$P_n=\frac{1}{a_1}(\frac{a_1+1}{a_2})(\frac{a_2+1}{a_3})\cdots(\frac{a_{n-1}+1}{a_n})(a_n+1)$ $$$P_n=\frac{1}{a_1}(\frac{a_1+1}{a_2})(\frac{a_2+1}{a_3})\cdots(\frac{a_{n-1}+1}{a_n})(a_n+1)$ $$$P_n=\frac{1}{a_1}(\frac{1}{2})(\frac{1}{3})\cdots(\frac{1}{n-1})(a_n+1)$ $

Finalmente, resuelve la relación de recurrencia para obtener$a_n$

Answer 3

De la recurrencia obtenemos ese$\frac{a_n}{n!}-\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}=\frac{1}{(n-1)!}$, que produce$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n!}=e$. Entonces$$\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{a_k+1}{a_k}=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{a_{k+1}}{(k+1)a_k}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=e $ $