Un problema sobre el difeomorfismo de dos componentes del límite de una variedad.

Question

Mi profesor de geometría dijo que la siguiente afirmación es verdadera: Deje $M$ ser un equipo compacto liso colector tal que $\partial M = M_0 \cup M_1$. Supongamos que existe una función suave $f:M \to \mathbb R$ tal que $f^{-1}(i) = M_i$$i=0,1$. Si la derivada de la función $f$ es no nulo en todo punto de a $M$ $M_0$ $M_1$ son diffeomorphic.

Tengo dos preguntas:

1) este resultado es realmente cierto? Yo no encuentro ninguna referencia de donde se declaró.

2) Si es cierto, ¿cómo puedo demostrarlo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Una declaración de que puede adaptarse a su situación es:

Teorema: Sea$f:M\rightarrow \mathbb{R}$ una función Morse en una variedad suave. Supongamos que$a<b$ se dan de manera tal que$f^{-1}([a,b])$ es compacto y que no hay valores críticos$c$ con$a\leq c\leq b$. Entonces$f^{-1}(a)$ y$f^{-1}(b)$ son difeomorfos.

La palabra clave es la teoría morse. Esto es lo primero (condiciones variables como la compacidad) que uno prueba en esta dirección. Una referencia buena y estándar es la llamada teoría de Morse.