Prueba $f$ alcanza su máximo

Question

<blockquote> <p>$f$ Es una función sobre números reales tales que $f(x)>0$ % todos $x$. Supongamos que prueban el $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) =\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0.$ $f$ alcanza su máximo.</p> </blockquote> <p>En primer lugar, creo que la pregunta debería decir función continua. Entonces es fácil ver que puesto que podemos considerar algunos compacto conjunto de $[N_1,N_2]$ para la función, la función debe tener un máximo en este intervalo, lo llaman $M$. Entonces el máximo de la función es $\max\{M,0\}$ que existe.</p>

Answer 1

En primer lugar, la afirmación no es correcta para un general de la función $f: \mathbb{R} \to (0 , + \infty)$ donde $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$. Para un contraejemplo, considere la posibilidad de $f(x) = \begin{cases} 1/ |x| & x \neq 0 \\ 1 & x = 0\end{cases}$, que no tiene máximo, a pesar de la satisfacción de las hipótesis. Debemos considerar las funciones continuas. Durante la duración de esta respuesta, suponemos $f$ es continua, así como la satisfacción de las hipótesis que se dijo.-

Deje $a = \max \{ f(x) : - 1 \leq x \leq 1 \} > 0 $, que existe por el teorema del valor extremo. Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$, entonces no existe $N \geq 0$ que si $|x| > N$,$0 \leq f(x) \leq a / 2$. Ahora, establezca $M = \max \{ f(x) : - N \leq x \leq N \}$, que también existe por el teorema del valor extremo. Puesto que suponemos $N \geq 1$, se deduce que el $M \geq a$. Ahora, se nota que $$\sup \{ f(x) : x \in \mathbb{R} \} = \max ( \sup \{ f(x) : - N \leq x \leq N \} , \sup \{ f(x) : |x| > N \}) = \max(M, \sup \{ f(x) : |x| > N \}) = M,$$ as $M \geq \geq / 2 \geq f(x)$ whenever $|x| > N$. But there exists $x \in [- N, N]$ such that $f(x) = M$, so $M = \sup \{ f(x) : x \in \mathbb{R} \}$ es, de hecho, un máximo.

Answer 2

Sí, usted está exactamente correcto. Como usted tiene cuidado sobre lo que estás haciendo, es como se hace la prueba. Es claramente falso para funciones no continuas, por ejemplo de un contador, consideran $f(x)=|1/x|$ y $f(0)=0$

Answer 3

Sí, usted necesita continuidad. Entonces, asumiendo $f$ es continua, positiva y $\lim_{\pm\infty} f=0$ aquí está un resumen:

• Desde $f(x)>0$ todos los $x$, luego, en particular,$f(0) > 0$.

• Tome $\varepsilon = \frac{f(0)}{2} > 0$. El uso que los límites en$\pm\infty$$0$, el uso que con esto $\varepsilon$ a argumentar que no existe $A>0$ tal que $0 < f(x) \leq \varepsilon$ fuera de $[-A,A]$.

• Aplicar el hecho de que cada función continua alcanza su máximo en un almacén cerrado el intervalo intervalo de $[-A,A]$. Hay un máximo de $f$$[-A,A]$, se $M$, alcanzado en algún punto de $x_0 \in[-A,A]$.

• Claramente, el máximo $M$ $f$ $[-A,A]$ satisface $M \geq f(0) > \varepsilon$, por lo que este es también un máximo en $\mathbb{R}$.

Answer 4

Tienes razón que la función debe ser continua. Como un contraejemplo simple, considere la función\begin{equation} f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{(x-2)} & \text{if %#%#%}. \ \dfrac{-1}{(x-5)} & \text{%#%#%}. \end{casos} \end{equation} entonces esta función nunca alcanza su máximo. Así que sí, necesita $x\geq4$ continua. También es necesario un intervalo cerrado y acotado, $xhttps://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem.